Алгоритми та структури даних: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 6 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачіНазад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Теорія графів

Лема про рукостискання
Σ deg(v) = 2|E|
Повні графи
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Регулярний граф
|E| = n·k/2
Дерево і ліс
|E| = n − 1, |E| = n − c
Листки дерева
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Ейлер
цикл: усі степені парні; шлях: рівно 2 непарні степені
Гамільтонові цикли в Kn
(n − 1)!/2
Оновлення в алгоритмі Дейкстри
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Маршрути довжиною L
(Mᴸ)ij

Метод

  1. Випишіть степінь кожної вершини; сума степенів дорівнює подвоєній кількості ребер.
  2. У задачах про Ейлера перевірте, що граф зв’язний, і порахуйте вершини з непарним степенем.
  3. Для дерев використовуйте n − 1 ребро та лему про рукостискання.
  4. Для алгоритму Дейкстри ведіть таблицю попередніх відстаней і щоразу фіксуйте незафіксовану вершину з найменшою відстанню.
  5. Для мінімального остовного дерева відсортуйте ребра за вагою й пропускайте кожне ребро, що замикає цикл (Крускал), або нарощуйте одне дерево від початкової вершини (Прім).

2Задачі для практики

1.Алгоритми та складністьСередня

Який розв'язок рекурентного співвідношення T(n) = T(n − 1) + O(n)?

  1. AO(2ⁿ)
  2. BO(n)
  3. CO(n²)
  4. DO(n log n)
2.Алгоритми та складністьСкладна

Яке твердження про P і NP є правильним?

  1. AДоведено, що P ≠ NP
  2. BКожна задача з P також належить до NP
  3. CРозв'язки задач NP неможливо швидко перевірити
  4. DNP означає «неполіноміальний» (not polynomial)
3.Структури данихСередня

Яку структуру даних використовують, щоб перевірити, чи збалансовані дужки в «{[()]}»?

  1. AЧергу
  2. BГеш-таблицю
  3. CБінарне дерево пошуку
  4. DСтек
4.Структури данихСкладна

Яку проблему лінійного зондування переважно зменшує подвійне гешування?

  1. AПотребу в геш-функції
  2. BПотребу зберігати ключі в таблиці
  3. CВартість O(n) читання значення ключа
  4. DПервинну кластеризацію, коли утворюються довгі серії зайнятих комірок
5.Теорія графівСередня

Дерево має 2 вершин степеня 3, 4 вершин степеня 5, 3 вершин степеня 2, а всі його інші вершини — листки (степінь 1). Скільки листків L воно має?

2 × deg 34 × deg 53 × deg 2
L =
6.Теорія графівСкладна
71341172151210ABCDEFG

Алгоритм Пріма будує мінімальне остовне дерево, починаючи з вершини F. Клікніть ребро, яке він додає як ребро номер 2.

початок: Fk = 2
  1. 1ребро AB
  2. 2ребро AC
  3. 3ребро BC
  4. 4ребро CE
  5. 5ребро DE
  6. 6ребро DF
  7. 7ребро GC
  8. 8ребро GD
  9. 9ребро GE

3Розчини

1.Алгоритми та складність

Відповідь: C · O(n²)

Чому це відповідь

Сумарна робота становить близько n² / 2; це рекурентне співвідношення сортування вибором або швидкого сортування з найгіршим опорним елементом.

Відповідь

C · O(n²)
2.Алгоритми та складність

Відповідь: B · Кожна задача з P також належить до NP

Чому це відповідь

P ⊆ NP: якщо Ви можете швидко розв'язати задачу, Ви можете й швидко перевірити розв'язок. Питання, чи P = NP, досі відкрите.

Відповідь

B · Кожна задача з P також належить до NP
3.Структури даних

Відповідь: D · Стек

Чому це відповідь

Кожну відкривну дужку заносять у стек (push), а коли з'являється закривна, виймають (pop); вона має відповідати вийнятій дужці, а наприкінці стек має бути порожнім.

Відповідь

D · Стек
4.Структури даних

Відповідь: D · Первинну кластеризацію, коли утворюються довгі серії зайнятих комірок

Чому це відповідь

Лінійне зондування крокує на 1, тож серії зайнятих комірок зростають і зливаються; подвійне гешування використовує другий геш для розміру кроку, тож різні ключі перевіряють різні послідовності.

Відповідь

D · Первинну кластеризацію, коли утворюються довгі серії зайнятих комірок
5.Теорія графів

Відповідь: L = 16

Ейлер, Гамільтон і дерева: зв’язний граф має ейлерів цикл (кожне ребро один раз, з поверненням до початку), коли кожна вершина має парний степінь, і ейлерів шлях, що не є циклом, коли рівно дві вершини мають непарний степінь; тоді шлях іде від однієї непарної вершини до другої. Гамільтонів цикл відвідує кожну вершину один раз; у Kn їх (n − 1)!/2. Дерево на n вершинах має n − 1 ребро, а зв’язний граф з m ребрами зберігає остовне дерево після вилучення m − n + 1 ребер.

Лема про рукостискання для дерева

L + 32 = 2(L + 9) − 2
L = 16

Відповідь

L = 16

Скорочення: L = 2 + Σ (d − 2) за вершинами зі степенем d ≥ 3.

6.Теорія графів

Відповідь: ребро GD

Найкоротші шляхи та остовні дерева: алгоритм Дейкстри фіксує одну вершину за раунд: незафіксовану вершину з найменшою попередньою відстанню. Її відстань тоді остаточна, а кожен сусід v отримує d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Алгоритм Крускала будує мінімальне остовне дерево, беручи ребра від легких до важких і пропускаючи кожне ребро, що замкнуло б цикл; алгоритм Пріма нарощує одне дерево від початкової вершини, завжди додаючи найлегше ребро, що виходить з нього. Остовне дерево з n вершин має n − 1 ребро.

Алгоритм Пріма

1. DF (2)
2. GD (12)
3. GE (10)
4. CE (1)
5. BC (4)
6. AB (7)

номер ребра 2

GD

Відповідь

ребро GD

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms