Алгоритми та структури даних: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 6 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачіНазад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Теорія графів

Лема про рукостискання
Σ deg(v) = 2|E|
Повні графи
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Регулярний граф
|E| = n·k/2
Дерево і ліс
|E| = n − 1, |E| = n − c
Листки дерева
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Ейлер
цикл: усі степені парні; шлях: рівно 2 непарні степені
Гамільтонові цикли в Kn
(n − 1)!/2
Оновлення в алгоритмі Дейкстри
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Маршрути довжиною L
(Mᴸ)ij

Метод

  1. Випишіть степінь кожної вершини; сума степенів дорівнює подвоєній кількості ребер.
  2. У задачах про Ейлера перевірте, що граф зв’язний, і порахуйте вершини з непарним степенем.
  3. Для дерев використовуйте n − 1 ребро та лему про рукостискання.
  4. Для алгоритму Дейкстри ведіть таблицю попередніх відстаней і щоразу фіксуйте незафіксовану вершину з найменшою відстанню.
  5. Для мінімального остовного дерева відсортуйте ребра за вагою й пропускайте кожне ребро, що замикає цикл (Крускал), або нарощуйте одне дерево від початкової вершини (Прім).

2Задачі для практики

1.Алгоритми та складністьСередня

Яка часова складність стандартного алгоритму динамічного програмування для найдовшої спільної підпослідовності рядків довжиною m і n?

  1. AO(mn)
  2. BO(2m+n)
  3. CO(mn log n)
  4. DO(m + n)
2.Алгоритми та складністьСкладна

Яке твердження про вибір k-го найменшого елемента невідсортованого масиву правильне?

  1. AВибір завжди потребує Ω(n log n), бо вимагає сортування
  2. BQuickselect працює за очікуваний час O(n), а метод медіани медіан гарантує O(n) у найгіршому випадку
  3. CВибір можливий лише за O(n²)
  4. DQuickselect працює за O(log n) у найгіршому випадку, бо рекурсивно переходить лише в один бік від опорного елемента
3.Структури данихСередня

Яка висота бінарного дерева пошуку з n вузлами в найгіршому випадку, якщо ключі вставляються у відсортованому порядку?

  1. Alog₂ n
  2. B1
  3. C√n
  4. Dn (дерево перетворюється на зв'язний список)
4.Структури данихСкладна

Вузол AVL-дерева незбалансований, бо праве піддерево його лівої дитини стало надто високим (випадок «ліво-право»). Яке виправлення застосовують?

  1. AПравий поворот у лівій дитині, потім лівий поворот у вузлі
  2. BЛівий поворот у лівій дитині, потім правий поворот у вузлі
  3. CОдинарний лівий поворот у вузлі
  4. DОдинарний правий поворот у вузлі
5.Теорія графівСередня

Зв’язний граф має 14 вершин і 19 ребер. Скільки ребер k треба вилучити, щоб залишилося остовне дерево?

|V| = 14|E| = 19
k =
6.Теорія графівСкладна
1375551058ABCDEF

Скористайтеся алгоритмом Дейкстри, щоб знайти довжину d(F) найкоротшого шляху від A до F у зваженому графі.

початок: Aкінець: F
d(F) =

3Розчини

1.Алгоритми та складність

Відповідь: A · O(mn)

Чому це відповідь

Таблиця має (m + 1)(n + 1) клітинок, і кожна обчислюється за O(1) із сусідніх.

Відповідь

A · O(mn)
2.Алгоритми та складність

Відповідь: B · Quickselect працює за очікуваний час O(n), а метод медіани медіан гарантує O(n) у найгіршому випадку

Чому це відповідь

Очікувана робота quickselect із випадковими опорними елементами — n + n/2 + n/4 + ... = O(n); вибір опорного елемента як медіани медіан робить найгірший випадок лінійним.

Відповідь

B · Quickselect працює за очікуваний час O(n), а метод медіани медіан гарантує O(n) у найгіршому випадку
3.Структури даних

Відповідь: D · n (дерево перетворюється на зв'язний список)

Чому це відповідь

Вставлення відсортованих ключів створює вироджене дерево висотою n, тому пошук стає O(n). Збалансовані дерева цьому запобігають.

Відповідь

D · n (дерево перетворюється на зв'язний список)
4.Структури даних

Відповідь: B · Лівий поворот у лівій дитині, потім правий поворот у вузлі

Чому це відповідь

Перший поворот перетворює випадок «ліво-право» на випадок «ліво-ліво», який потім виправляє правий поворот у незбалансованому вузлі.

Відповідь

B · Лівий поворот у лівій дитині, потім правий поворот у вузлі
5.Теорія графів

Відповідь: k = 6

Ейлер, Гамільтон і дерева: зв’язний граф має ейлерів цикл (кожне ребро один раз, з поверненням до початку), коли кожна вершина має парний степінь, і ейлерів шлях, що не є циклом, коли рівно дві вершини мають непарний степінь; тоді шлях іде від однієї непарної вершини до другої. Гамільтонів цикл відвідує кожну вершину один раз; у Kn їх (n − 1)!/2. Дерево на n вершинах має n − 1 ребро, а зв’язний граф з m ребрами зберігає остовне дерево після вилучення m − n + 1 ребер.

Ребра остовного дерева

14 − 1 = 13

Ребра для вилучення

k = 19 − 13 = 6

Відповідь

k = 6
6.Теорія графів

Відповідь: d(F) = 17

Найкоротші шляхи та остовні дерева: алгоритм Дейкстри фіксує одну вершину за раунд: незафіксовану вершину з найменшою попередньою відстанню. Її відстань тоді остаточна, а кожен сусід v отримує d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Алгоритм Крускала будує мінімальне остовне дерево, беручи ребра від легких до важких і пропускаючи кожне ребро, що замкнуло б цикл; алгоритм Пріма нарощує одне дерево від початкової вершини, завжди додаючи найлегше ребро, що виходить з нього. Остовне дерево з n вершин має n − 1 ребро.

Алгоритм Дейкстри раунд за раундом

Кожен рядок: зафіксована вершина, її остаточна відстань і сусіди, чия відстань покращується.

A (0): B: 13, C: 7
C (7): B: 12, E: 12
B (12): D: 17
E (12): F: 17
D (17)
F (17)

Найкоротший шлях

A → C → E → F
d(F) = 17

Відповідь

d(F) = 17

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms