Алгоритми та структури даних: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 6 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачіНазад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Теорія графів

Лема про рукостискання
Σ deg(v) = 2|E|
Повні графи
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Регулярний граф
|E| = n·k/2
Дерево і ліс
|E| = n − 1, |E| = n − c
Листки дерева
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Ейлер
цикл: усі степені парні; шлях: рівно 2 непарні степені
Гамільтонові цикли в Kn
(n − 1)!/2
Оновлення в алгоритмі Дейкстри
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Маршрути довжиною L
(Mᴸ)ij

Метод

  1. Випишіть степінь кожної вершини; сума степенів дорівнює подвоєній кількості ребер.
  2. У задачах про Ейлера перевірте, що граф зв’язний, і порахуйте вершини з непарним степенем.
  3. Для дерев використовуйте n − 1 ребро та лему про рукостискання.
  4. Для алгоритму Дейкстри ведіть таблицю попередніх відстаней і щоразу фіксуйте незафіксовану вершину з найменшою відстанню.
  5. Для мінімального остовного дерева відсортуйте ребра за вагою й пропускайте кожне ребро, що замикає цикл (Крускал), або нарощуйте одне дерево від початкової вершини (Прім).

2Задачі для практики

1.Алгоритми та складністьСередня

Чому багато бібліотечних процедур сортування переходять на сортування вставками для дуже малих підмасивів?

  1. AРекурсивні алгоритми не можуть обробляти масиви менші за 10 елементів
  2. BСортування вставками має складність O(n log n) у найгіршому випадку
  3. CСортування вставками має малі накладні витрати й швидке на малих або майже відсортованих даних
  4. DСортування вставками використовує менше пам'яті, ніж будь-який інший алгоритм сортування, на великих даних
2.Алгоритми та складністьСкладна

Як співвідносяться n! і 2ⁿ для великих n?

  1. An! є O(n²)
  2. Bn! зростає швидше, ніж 2ⁿ
  3. CВони зростають з однаковою швидкістю
  4. D2ⁿ зростає швидше, ніж n!
3.Структури данихСередня

Який абстрактний тип даних використовує алгоритм Дейкстри, щоб обрати наступну вершину для обробки?

  1. AЧергу FIFO
  2. BСтек
  3. CМін-чергу з пріоритетом
  4. DМножину без упорядкування
4.Структури данихСкладна

Яку гарантію щодо висоти дерева з n ключами дають правила червоно-чорного дерева?

  1. AВисота щонайбільше 2 log2(n + 1)
  2. BВисота щонайбільше n / 2
  3. CВисота щонайбільше log2 n + 1
  4. DВисота рівно log2 n
5.Теорія графівСередня

Зв’язний граф має 16 вершин і 17 ребер. Скільки ребер k треба вилучити, щоб залишилося остовне дерево?

|V| = 16|E| = 17
k =
6.Теорія графівСкладна
813141820179ABCDE

Знайдіть загальну вагу W мінімального остовного дерева зваженого графа.

|V| = 5|E| = 7
W =

3Розчини

1.Алгоритми та складність

Відповідь: C · Сортування вставками має малі накладні витрати й швидке на малих або майже відсортованих даних

Чому це відповідь

Для малих n простий цикл сортування вставками перевершує накладні витрати рекурсії швидкого сортування чи сортування злиттям, хоча воно й O(n²).

Відповідь

C · Сортування вставками має малі накладні витрати й швидке на малих або майже відсортованих даних
2.Алгоритми та складність

Відповідь: B · n! зростає швидше, ніж 2ⁿ

Чому це відповідь

Для n ≥ 4 n! перевищує 2ⁿ, і відношення зростає необмежено, бо кожен додатковий множник n! більший за 2.

Відповідь

B · n! зростає швидше, ніж 2ⁿ
3.Структури даних

Відповідь: C · Мін-чергу з пріоритетом

Чому це відповідь

Мін-черга з пріоритетом, зазвичай бінарна купа, ефективно повертає невідвідану вершину з найменшою відстанню.

Відповідь

C · Мін-чергу з пріоритетом
4.Структури даних

Відповідь: A · Висота щонайбільше 2 log2(n + 1)

Чому це відповідь

Кожен шлях має однакову кількість чорних вузлів, а червоні вузли не можуть бути сусідніми, тож найдовший шлях щонайбільше вдвічі довший за найкоротший, що дає висоту O(log n).

Відповідь

A · Висота щонайбільше 2 log2(n + 1)
5.Теорія графів

Відповідь: k = 2

Ейлер, Гамільтон і дерева: зв’язний граф має ейлерів цикл (кожне ребро один раз, з поверненням до початку), коли кожна вершина має парний степінь, і ейлерів шлях, що не є циклом, коли рівно дві вершини мають непарний степінь; тоді шлях іде від однієї непарної вершини до другої. Гамільтонів цикл відвідує кожну вершину один раз; у Kn їх (n − 1)!/2. Дерево на n вершинах має n − 1 ребро, а зв’язний граф з m ребрами зберігає остовне дерево після вилучення m − n + 1 ребер.

Ребра остовного дерева

16 − 1 = 15

Ребра для вилучення

k = 17 − 15 = 2

Відповідь

k = 2
6.Теорія графів

Відповідь: W = 47

Найкоротші шляхи та остовні дерева: алгоритм Дейкстри фіксує одну вершину за раунд: незафіксовану вершину з найменшою попередньою відстанню. Її відстань тоді остаточна, а кожен сусід v отримує d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Алгоритм Крускала будує мінімальне остовне дерево, беручи ребра від легких до важких і пропускаючи кожне ребро, що замкнуло б цикл; алгоритм Пріма нарощує одне дерево від початкової вершини, завжди додаючи найлегше ребро, що виходить з нього. Остовне дерево з n вершин має n − 1 ребро.

Алгоритм Крускала

AB (8): взяти
BE (9): взяти
AC (13): взяти
BC (14): пропустити, замикає цикл
DE (17): взяти

Загальна вага

W = 8 + 9 + 13 + 17 = 47

Відповідь

W = 47

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms