Алгоритми та структури даних: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 6 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачіНазад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Теорія графів

Лема про рукостискання
Σ deg(v) = 2|E|
Повні графи
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Регулярний граф
|E| = n·k/2
Дерево і ліс
|E| = n − 1, |E| = n − c
Листки дерева
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Ейлер
цикл: усі степені парні; шлях: рівно 2 непарні степені
Гамільтонові цикли в Kn
(n − 1)!/2
Оновлення в алгоритмі Дейкстри
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Маршрути довжиною L
(Mᴸ)ij

Метод

  1. Випишіть степінь кожної вершини; сума степенів дорівнює подвоєній кількості ребер.
  2. У задачах про Ейлера перевірте, що граф зв’язний, і порахуйте вершини з непарним степенем.
  3. Для дерев використовуйте n − 1 ребро та лему про рукостискання.
  4. Для алгоритму Дейкстри ведіть таблицю попередніх відстаней і щоразу фіксуйте незафіксовану вершину з найменшою відстанню.
  5. Для мінімального остовного дерева відсортуйте ребра за вагою й пропускайте кожне ребро, що замикає цикл (Крускал), або нарощуйте одне дерево від початкової вершини (Прім).

2Задачі для практики

1.Алгоритми та складністьСередня

Швидке сортування завжди бере опорним перший елемент. На яких вхідних даних воно демонструє поведінку найгіршого випадку?

  1. AНа масиві у випадковому порядку
  2. BНа масиві, всі елементи якого різні
  3. CНа вже відсортованому масиві
  4. DНа масиві довжини 2
2.Алгоритми та складністьСкладна

Чому алгоритм Дейкстри може давати неправильні результати, коли деякі ваги ребер від'ємні?

  1. AВін працює лише на неорієнтованих графах
  2. BВід'ємні числа неможливо зберігати в черзі з пріоритетами
  3. CВін зациклюється на кожному від'ємному ребрі
  4. DВершину остаточно фіксують під час вилучення, але пізніше від'ємне ребро ще може дати їй коротший шлях
3.Структури данихСередня

Яке значення постфіксного виразу 3 4 + 2 * ?

  1. A10
  2. B24
  3. C14
  4. D11
4.Структури данихСкладна

Яку проблему лінійного зондування переважно зменшує подвійне гешування?

  1. AВартість O(n) читання значення ключа
  2. BПервинну кластеризацію, коли утворюються довгі серії зайнятих комірок
  3. CПотребу зберігати ключі в таблиці
  4. DПотребу в геш-функції
5.Теорія графівСередня

Дерево має 2 вершин степеня 3, 2 вершин степеня 4, а всі його інші вершини — листки (степінь 1). Скільки листків L воно має?

2 × deg 32 × deg 4
L =
6.Теорія графівСкладна
8159161814131219ABCDEF

Знайдіть загальну вагу W мінімального остовного дерева зваженого графа.

|V| = 6|E| = 9
W =

3Розчини

1.Алгоритми та складність

Відповідь: C · На вже відсортованому масиві

Чому це відповідь

На відсортованих даних опорний елемент завжди мінімальний, тож одна частина порожня, а інша має n − 1 елементів, що дає O(n²).

Відповідь

C · На вже відсортованому масиві
2.Алгоритми та складність

Відповідь: D · Вершину остаточно фіксують під час вилучення, але пізніше від'ємне ребро ще може дати їй коротший шлях

Чому це відповідь

Жадібний крок спирається на невід'ємні ваги, щоб вилучені відстані були остаточними; коли ваги можуть бути від'ємними, використовують Беллмана–Форда.

Відповідь

D · Вершину остаточно фіксують під час вилучення, але пізніше від'ємне ребро ще може дати їй коротший шлях
3.Структури даних

Відповідь: C · 14

Чому це відповідь

Заносимо 3 і 4, + дає 7; заносимо 2, * дає 7 × 2 = 14.

Відповідь

C · 14
4.Структури даних

Відповідь: B · Первинну кластеризацію, коли утворюються довгі серії зайнятих комірок

Чому це відповідь

Лінійне зондування крокує на 1, тож серії зайнятих комірок зростають і зливаються; подвійне гешування використовує другий геш для розміру кроку, тож різні ключі перевіряють різні послідовності.

Відповідь

B · Первинну кластеризацію, коли утворюються довгі серії зайнятих комірок
5.Теорія графів

Відповідь: L = 8

Ейлер, Гамільтон і дерева: зв’язний граф має ейлерів цикл (кожне ребро один раз, з поверненням до початку), коли кожна вершина має парний степінь, і ейлерів шлях, що не є циклом, коли рівно дві вершини мають непарний степінь; тоді шлях іде від однієї непарної вершини до другої. Гамільтонів цикл відвідує кожну вершину один раз; у Kn їх (n − 1)!/2. Дерево на n вершинах має n − 1 ребро, а зв’язний граф з m ребрами зберігає остовне дерево після вилучення m − n + 1 ребер.

Лема про рукостискання для дерева

L + 14 = 2(L + 4) − 2
L = 8

Відповідь

L = 8

Скорочення: L = 2 + Σ (d − 2) за вершинами зі степенем d ≥ 3.

6.Теорія графів

Відповідь: W = 58

Найкоротші шляхи та остовні дерева: алгоритм Дейкстри фіксує одну вершину за раунд: незафіксовану вершину з найменшою попередньою відстанню. Її відстань тоді остаточна, а кожен сусід v отримує d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Алгоритм Крускала будує мінімальне остовне дерево, беручи ребра від легких до важких і пропускаючи кожне ребро, що замкнуло б цикл; алгоритм Пріма нарощує одне дерево від початкової вершини, завжди додаючи найлегше ребро, що виходить з нього. Остовне дерево з n вершин має n − 1 ребро.

Алгоритм Крускала

AB (8): взяти
BC (9): взяти
EF (12): взяти
DF (13): взяти
DE (14): пропустити, замикає цикл
AC (15): пропустити, замикає цикл
BD (16): взяти

Загальна вага

W = 8 + 9 + 12 + 13 + 16 = 58

Відповідь

W = 58

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms