Алгоритми та структури даних: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 6 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачіНазад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Теорія графів

Лема про рукостискання
Σ deg(v) = 2|E|
Повні графи
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Регулярний граф
|E| = n·k/2
Дерево і ліс
|E| = n − 1, |E| = n − c
Листки дерева
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Ейлер
цикл: усі степені парні; шлях: рівно 2 непарні степені
Гамільтонові цикли в Kn
(n − 1)!/2
Оновлення в алгоритмі Дейкстри
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Маршрути довжиною L
(Mᴸ)ij

Метод

  1. Випишіть степінь кожної вершини; сума степенів дорівнює подвоєній кількості ребер.
  2. У задачах про Ейлера перевірте, що граф зв’язний, і порахуйте вершини з непарним степенем.
  3. Для дерев використовуйте n − 1 ребро та лему про рукостискання.
  4. Для алгоритму Дейкстри ведіть таблицю попередніх відстаней і щоразу фіксуйте незафіксовану вершину з найменшою відстанню.
  5. Для мінімального остовного дерева відсортуйте ребра за вагою й пропускайте кожне ребро, що замикає цикл (Крускал), або нарощуйте одне дерево від початкової вершини (Прім).

2Задачі для практики

1.Алгоритми та складністьСередня

Чому основу логарифма в «великому O» зазвичай не вказують, як-от в O(log n)?

  1. AЛогарифми з різними основами відрізняються лише сталим множником
  2. BУсі логарифми в інформатиці мають основу 10, тож вона мається на увазі
  3. CОснова має значення лише для малих n
  4. DЛогарифми завжди округлюють до цілих
2.Алгоритми та складністьСкладна

Як класифікують задачу комівояжера?

  1. AВона належить до P, бо її розв'язує алгоритм Дейкстри, відвідуючи кожне місто один раз
  2. BВона нерозв'язна
  3. CВерсія розпізнавання належить до P, а оптимізаційна — NP-повна
  4. DВерсія розпізнавання є NP-повною, а оптимізаційна версія — NP-складною
3.Структури данихСередня

У бінарній мін-купі, що зберігається в масиві (індексація з 0), діти вузла з індексом i розташовані на позиціях:

  1. Ai/2 і i/2 + 1
  2. B2i і 2i + 1
  3. C2i + 1 і 2i + 2
  4. Di + 1 і i + 2
4.Структури данихСкладна

Яка структура даних забезпечує кеш LRU (least recently used) з операціями get і put за O(1)?

  1. AГеш-мапа в поєднанні з двозв'язним списком
  2. BОдин відсортований масив
  3. CЛише стек
  4. DЛише бінарне дерево пошуку
5.Теорія графівСередня

Зв’язний граф має 13 вершин і 22 ребер. Скільки ребер k треба вилучити, щоб залишилося остовне дерево?

|V| = 13|E| = 22
k =
6.Теорія графівСкладна
3127915925ABCDEF

Алгоритм Дейкстри працює від A. Клікніть вершину, яку фіксують (роблять остаточною) у раунді 4; сама A — це раунд 1.

початок: Aраунд 4
  1. 1A
  2. 2B
  3. 3C
  4. 4D
  5. 5E
  6. 6F

3Розчини

1.Алгоритми та складність

Відповідь: A · Логарифми з різними основами відрізняються лише сталим множником

Чому це відповідь

Зміна основи множить логарифм на сталу, а «велике O» ігнорує сталі множники.

Відповідь

A · Логарифми з різними основами відрізняються лише сталим множником
2.Алгоритми та складність

Відповідь: D · Версія розпізнавання є NP-повною, а оптимізаційна версія — NP-складною

Чому це відповідь

«Чи існує маршрут довжиною щонайбільше k?» — NP-повна задача; пошук найкоротшого маршруту — NP-складна, бо вона щонайменше така ж складна.

Відповідь

D · Версія розпізнавання є NP-повною, а оптимізаційна версія — NP-складною
3.Структури даних

Відповідь: C · 2i + 1 і 2i + 2

Чому це відповідь

У масивах з індексацією від 0 лівий нащадок має індекс 2i + 1, правий — 2i + 2, а батько — ⌊(i − 1)/2⌋.

Відповідь

C · 2i + 1 і 2i + 2
4.Структури даних

Відповідь: A · Геш-мапа в поєднанні з двозв'язним списком

Чому це відповідь

Геш-мапа знаходить вузли за O(1), а двозв'язний список переміщує використані елементи на початок і видаляє з кінця за O(1).

Відповідь

A · Геш-мапа в поєднанні з двозв'язним списком
5.Теорія графів

Відповідь: k = 10

Ейлер, Гамільтон і дерева: зв’язний граф має ейлерів цикл (кожне ребро один раз, з поверненням до початку), коли кожна вершина має парний степінь, і ейлерів шлях, що не є циклом, коли рівно дві вершини мають непарний степінь; тоді шлях іде від однієї непарної вершини до другої. Гамільтонів цикл відвідує кожну вершину один раз; у Kn їх (n − 1)!/2. Дерево на n вершинах має n − 1 ребро, а зв’язний граф з m ребрами зберігає остовне дерево після вилучення m − n + 1 ребер.

Ребра остовного дерева

13 − 1 = 12

Ребра для вилучення

k = 22 − 12 = 10

Відповідь

k = 10
6.Теорія графів

Відповідь: C

Найкоротші шляхи та остовні дерева: алгоритм Дейкстри фіксує одну вершину за раунд: незафіксовану вершину з найменшою попередньою відстанню. Її відстань тоді остаточна, а кожен сусід v отримує d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Алгоритм Крускала будує мінімальне остовне дерево, беручи ребра від легких до важких і пропускаючи кожне ребро, що замкнуло б цикл; алгоритм Пріма нарощує одне дерево від початкової вершини, завжди додаючи найлегше ребро, що виходить з нього. Остовне дерево з n вершин має n − 1 ребро.

Алгоритм Дейкстри раунд за раундом

1. A (0): B: 3, C: 12
2. B (3): C: 10, D: 12, E: 8
3. E (8)
4. C (10)
5. D (12): F: 14
6. F (14)

раунд 4

C

Відповідь

C

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms