Алгоритми та структури даних: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 6 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачіНазад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Теорія графів

Лема про рукостискання
Σ deg(v) = 2|E|
Повні графи
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Регулярний граф
|E| = n·k/2
Дерево і ліс
|E| = n − 1, |E| = n − c
Листки дерева
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Ейлер
цикл: усі степені парні; шлях: рівно 2 непарні степені
Гамільтонові цикли в Kn
(n − 1)!/2
Оновлення в алгоритмі Дейкстри
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Маршрути довжиною L
(Mᴸ)ij

Метод

  1. Випишіть степінь кожної вершини; сума степенів дорівнює подвоєній кількості ребер.
  2. У задачах про Ейлера перевірте, що граф зв’язний, і порахуйте вершини з непарним степенем.
  3. Для дерев використовуйте n − 1 ребро та лему про рукостискання.
  4. Для алгоритму Дейкстри ведіть таблицю попередніх відстаней і щоразу фіксуйте незафіксовану вершину з найменшою відстанню.
  5. Для мінімального остовного дерева відсортуйте ребра за вагою й пропускайте кожне ребро, що замикає цикл (Крускал), або нарощуйте одне дерево від початкової вершини (Прім).

2Задачі для практики

1.Алгоритми та складністьСередня

Розв'язком рекурентного співвідношення T(n) = 2T(n/2) + O(n) є:

  1. AO(n²)
  2. BO(log n)
  3. CO(n log n)
  4. DO(n)
2.Алгоритми та складністьСкладна

Яке твердження про позначення «мале o» правильне?

  1. A2n = o(n), бо 2n зростає повільно
  2. Bn = o(n), бо кожна функція є «мале o» від самої себе
  3. Cn² = o(n)
  4. Dn = o(n²), але n не є o(n)
3.Структури данихСередня

Скільки пам'яті займає матриця суміжності графа з V вершинами?

  1. AO(V²)
  2. BO(E)
  3. CO(V + E)
  4. DO(log V)
4.Структури данихСкладна

Що робить розширюване дерево (splay tree) після кожного звертання?

  1. AПеребудовує все дерево у збалансовану форму
  2. BПоворотами піднімає вузол, до якого звернулися, у корінь
  3. CПереміщує вузол, до якого звернулися, у листок
  4. DПерефарбовує вузли на шляху пошуку
5.Теорія графівСередня
ABCDEFGЕйлерів циклЕйлерів шлях, не циклжодна з цих

Чи має зв’язний граф ейлерів цикл, ейлерів шлях, що не є циклом, чи нічого з цього? Клікніть свою відповідь.

|V| = 7|E| = 10
  1. 1Ейлерів цикл
  2. 2Ейлерів шлях, не цикл
  3. 3жодна з цих
6.Теорія графівСкладна
1413135141414ABCDEF

Скористайтеся алгоритмом Дейкстри, щоб знайти довжину d(F) найкоротшого шляху від A до F у зваженому графі.

початок: Aкінець: F
d(F) =

3Розчини

1.Алгоритми та складність

Відповідь: C · O(n log n)

Чому це відповідь

За основною теоремою про рекурентні співвідношення (master theorem) при a = 2, b = 2, f(n) = n маємо T(n) = Θ(n log n).

Відповідь

C · O(n log n)
2.Алгоритми та складність

Відповідь: D · n = o(n²), але n не є o(n)

Чому це відповідь

f = o(g) означає, що f(n) / g(n) прямує до 0; n / n² прямує до 0, а n / n = 1 — ні.

Відповідь

D · n = o(n²), але n не є o(n)
3.Структури даних

Відповідь: A · O(V²)

Чому це відповідь

Матриця суміжності зберігає V × V елементів, що ефективно для щільних графів; списки суміжності займають O(V + E) і краще підходять для розріджених графів.

Відповідь

A · O(V²)
4.Структури даних

Відповідь: B · Поворотами піднімає вузол, до якого звернулися, у корінь

Чому це відповідь

Splay-операція переміщує вузол, до якого звернулися, у корінь за допомогою поворотів; одна операція може коштувати O(n), але амортизована вартість — O(log n).

Відповідь

B · Поворотами піднімає вузол, до якого звернулися, у корінь
5.Теорія графів

Відповідь: жодна з цих

Ейлер, Гамільтон і дерева: зв’язний граф має ейлерів цикл (кожне ребро один раз, з поверненням до початку), коли кожна вершина має парний степінь, і ейлерів шлях, що не є циклом, коли рівно дві вершини мають непарний степінь; тоді шлях іде від однієї непарної вершини до другої. Гамільтонів цикл відвідує кожну вершину один раз; у Kn їх (n − 1)!/2. Дерево на n вершинах має n − 1 ребро, а зв’язний граф з m ребрами зберігає остовне дерево після вилучення m − n + 1 ребер.

Степені

deg(A) = 1, deg(B) = 4, deg(C) = 3, deg(D) = 4, deg(E) = 3, deg(F) = 2, deg(G) = 3

Непарні вершини

A, C, E, G → 4
жодна з цих

Відповідь

жодна з цих
6.Теорія графів

Відповідь: d(F) = 32

Найкоротші шляхи та остовні дерева: алгоритм Дейкстри фіксує одну вершину за раунд: незафіксовану вершину з найменшою попередньою відстанню. Її відстань тоді остаточна, а кожен сусід v отримує d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Алгоритм Крускала будує мінімальне остовне дерево, беручи ребра від легких до важких і пропускаючи кожне ребро, що замкнуло б цикл; алгоритм Пріма нарощує одне дерево від початкової вершини, завжди додаючи найлегше ребро, що виходить з нього. Остовне дерево з n вершин має n − 1 ребро.

Алгоритм Дейкстри раунд за раундом

Кожен рядок: зафіксована вершина, її остаточна відстань і сусіди, чия відстань покращується.

A (0): B: 14, C: 13
C (13): E: 14
B (14): D: 19
E (14): D: 18
D (18): F: 32
F (32)

Найкоротший шлях

A → C → E → D → F
d(F) = 32

Відповідь

d(F) = 32

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms