Алгоритми та структури даних: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 6 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачіНазад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Теорія графів

Лема про рукостискання
Σ deg(v) = 2|E|
Повні графи
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Регулярний граф
|E| = n·k/2
Дерево і ліс
|E| = n − 1, |E| = n − c
Листки дерева
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Ейлер
цикл: усі степені парні; шлях: рівно 2 непарні степені
Гамільтонові цикли в Kn
(n − 1)!/2
Оновлення в алгоритмі Дейкстри
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Маршрути довжиною L
(Mᴸ)ij

Метод

  1. Випишіть степінь кожної вершини; сума степенів дорівнює подвоєній кількості ребер.
  2. У задачах про Ейлера перевірте, що граф зв’язний, і порахуйте вершини з непарним степенем.
  3. Для дерев використовуйте n − 1 ребро та лему про рукостискання.
  4. Для алгоритму Дейкстри ведіть таблицю попередніх відстаней і щоразу фіксуйте незафіксовану вершину з найменшою відстанню.
  5. Для мінімального остовного дерева відсортуйте ребра за вагою й пропускайте кожне ребро, що замикає цикл (Крускал), або нарощуйте одне дерево від початкової вершини (Прім).

2Задачі для практики

1.Алгоритми та складністьСередня

Розв'язком рекурентного співвідношення T(n) = 2T(n/2) + O(n) є:

  1. AO(n²)
  2. BO(log n)
  3. CO(n)
  4. DO(n log n)
2.Алгоритми та складністьСкладна

Яке твердження про позначення «мале o» правильне?

  1. An = o(n), бо кожна функція є «мале o» від самої себе
  2. Bn = o(n²), але n не є o(n)
  3. Cn² = o(n)
  4. D2n = o(n), бо 2n зростає повільно
3.Структури данихСередня

Яка висота бінарного дерева пошуку з n вузлами в найгіршому випадку, якщо ключі вставляються у відсортованому порядку?

  1. A1
  2. Blog₂ n
  3. Cn (дерево перетворюється на зв'язний список)
  4. D√n
4.Структури данихСкладна

Алгоритм Кана для топологічного сортування раз у раз видаляє вершини з напівстепенем входу 0. Яка структура зберігає ці вершини?

  1. AМакс-купа, упорядкована за напівстепенем виходу
  2. BСтек усіх відвіданих ребер
  3. CМатриця суміжності, що фіксує, які вершини вже видалено
  4. DЧерга (або будь-яка колекція) вершин із напівстепенем входу 0
5.Теорія графівСередня

Дерево має 4 вершин степеня 4, 2 вершин степеня 5, 3 вершин степеня 2, а всі його інші вершини — листки (степінь 1). Скільки листків L воно має?

4 × deg 42 × deg 53 × deg 2
L =
6.Теорія графівСкладна
3911288149ABCDEF

Скористайтеся алгоритмом Дейкстри, щоб знайти довжину d(F) найкоротшого шляху від A до F у зваженому графі.

початок: Aкінець: F
d(F) =

3Розчини

1.Алгоритми та складність

Відповідь: D · O(n log n)

Чому це відповідь

За основною теоремою про рекурентні співвідношення (master theorem) при a = 2, b = 2, f(n) = n маємо T(n) = Θ(n log n).

Відповідь

D · O(n log n)
2.Алгоритми та складність

Відповідь: B · n = o(n²), але n не є o(n)

Чому це відповідь

f = o(g) означає, що f(n) / g(n) прямує до 0; n / n² прямує до 0, а n / n = 1 — ні.

Відповідь

B · n = o(n²), але n не є o(n)
3.Структури даних

Відповідь: C · n (дерево перетворюється на зв'язний список)

Чому це відповідь

Вставлення відсортованих ключів створює вироджене дерево висотою n, тому пошук стає O(n). Збалансовані дерева цьому запобігають.

Відповідь

C · n (дерево перетворюється на зв'язний список)
4.Структури даних

Відповідь: D · Черга (або будь-яка колекція) вершин із напівстепенем входу 0

Чому це відповідь

Готові вершини зберігаються в черзі; видалення однієї зменшує напівстепені входу її сусідів, і ті, що досягли 0, додаються, що дає час O(V + E).

Відповідь

D · Черга (або будь-яка колекція) вершин із напівстепенем входу 0
5.Теорія графів

Відповідь: L = 16

Ейлер, Гамільтон і дерева: зв’язний граф має ейлерів цикл (кожне ребро один раз, з поверненням до початку), коли кожна вершина має парний степінь, і ейлерів шлях, що не є циклом, коли рівно дві вершини мають непарний степінь; тоді шлях іде від однієї непарної вершини до другої. Гамільтонів цикл відвідує кожну вершину один раз; у Kn їх (n − 1)!/2. Дерево на n вершинах має n − 1 ребро, а зв’язний граф з m ребрами зберігає остовне дерево після вилучення m − n + 1 ребер.

Лема про рукостискання для дерева

L + 32 = 2(L + 9) − 2
L = 16

Відповідь

L = 16

Скорочення: L = 2 + Σ (d − 2) за вершинами зі степенем d ≥ 3.

6.Теорія графів

Відповідь: d(F) = 12

Найкоротші шляхи та остовні дерева: алгоритм Дейкстри фіксує одну вершину за раунд: незафіксовану вершину з найменшою попередньою відстанню. Її відстань тоді остаточна, а кожен сусід v отримує d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Алгоритм Крускала будує мінімальне остовне дерево, беручи ребра від легких до важких і пропускаючи кожне ребро, що замкнуло б цикл; алгоритм Пріма нарощує одне дерево від початкової вершини, завжди додаючи найлегше ребро, що виходить з нього. Остовне дерево з n вершин має n − 1 ребро.

Алгоритм Дейкстри раунд за раундом

Кожен рядок: зафіксована вершина, її остаточна відстань і сусіди, чия відстань покращується.

A (0): B: 3
B (3): C: 12, D: 4, E: 12
D (4): F: 12
C (12)
E (12)
F (12)

Найкоротший шлях

A → B → D → F
d(F) = 12

Відповідь

d(F) = 12

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms