Алгоритми та структури даних: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 6 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачіНазад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Теорія графів

Лема про рукостискання
Σ deg(v) = 2|E|
Повні графи
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Регулярний граф
|E| = n·k/2
Дерево і ліс
|E| = n − 1, |E| = n − c
Листки дерева
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Ейлер
цикл: усі степені парні; шлях: рівно 2 непарні степені
Гамільтонові цикли в Kn
(n − 1)!/2
Оновлення в алгоритмі Дейкстри
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Маршрути довжиною L
(Mᴸ)ij

Метод

  1. Випишіть степінь кожної вершини; сума степенів дорівнює подвоєній кількості ребер.
  2. У задачах про Ейлера перевірте, що граф зв’язний, і порахуйте вершини з непарним степенем.
  3. Для дерев використовуйте n − 1 ребро та лему про рукостискання.
  4. Для алгоритму Дейкстри ведіть таблицю попередніх відстаней і щоразу фіксуйте незафіксовану вершину з найменшою відстанню.
  5. Для мінімального остовного дерева відсортуйте ребра за вагою й пропускайте кожне ребро, що замикає цикл (Крускал), або нарощуйте одне дерево від початкової вершини (Прім).

2Задачі для практики

1.Алгоритми та складністьСередня

Часова складність наївного рекурсивного обчислення чисел Фібоначчі (fib(n) = fib(n−1) + fib(n−2)) є:

  1. AЛогарифмічною
  2. BЕкспоненційною
  3. CСталою
  4. DЛінійною
2.Алгоритми та складністьСкладна

Яке визначення класу P правильне?

  1. AЗадачі, які можна розв'язати паралельно
  2. BЗадачі, розв'язки яких можна перевірити, але ніколи не можна знайти за поліноміальний час
  3. CЗадачі, що потребують експоненційного часу на будь-якому комп'ютері
  4. DЗадачі розпізнавання, розв'язні детермінованим алгоритмом за поліноміальний час
3.Структури данихСередня

AVL-дерева та червоно-чорні дерева гарантують:

  1. AВисоту O(log n) завдяки перебалансуванню
  2. BПошук за сталий час у будь-якому випадку
  3. CЗберігання ключів у порядку вставлення
  4. DЩо жоден вузол не має двох дітей
4.Структури данихСкладна

Якій властивості має відповідати червоно-чорне дерево?

  1. AКорінь має бути червоним
  2. BКожен вузол має бути червоним
  3. CКожен червоний вузол повинен мати червоних дітей, тож червоні вузли завжди утворюють неперервні ланцюги до листків
  4. DКожен шлях від вузла до його листків-нащадків містить однакову кількість чорних вузлів
5.Теорія графівСередня

Зв’язний граф має 10 вершин і 18 ребер. Скільки ребер k треба вилучити, щоб залишилося остовне дерево?

|V| = 10|E| = 18
k =
6.Теорія графівСкладна
ABCDE

Скільки маршрутів довжиною 2 ведуть від E до A? Маршрут може повторювати вершини й ребра. Позначте число N.

M = матриця суміжностіL = 2
N =

3Розчини

1.Алгоритми та складність

Відповідь: B · Експоненційною

Чому це відповідь

Дерево викликів зростає приблизно як φⁿ (близько 1,618ⁿ). Мемоізація зменшує складність до O(n).

Відповідь

B · Експоненційною
2.Алгоритми та складність

Відповідь: D · Задачі розпізнавання, розв'язні детермінованим алгоритмом за поліноміальний час

Чому це відповідь

P містить задачі розпізнавання з детермінованим поліноміальним алгоритмом, як-от перевірка зв'язності графа.

Відповідь

D · Задачі розпізнавання, розв'язні детермінованим алгоритмом за поліноміальний час
3.Структури даних

Відповідь: A · Висоту O(log n) завдяки перебалансуванню

Чому це відповідь

Самобалансовані дерева зберігають логарифмічну висоту, тому пошук, вставлення та видалення в найгіршому випадку мають складність O(log n).

Відповідь

A · Висоту O(log n) завдяки перебалансуванню
4.Структури даних

Відповідь: D · Кожен шлях від вузла до його листків-нащадків містить однакову кількість чорних вузлів

Чому це відповідь

Правила червоно-чорного дерева: вузли червоні або чорні, корінь чорний, діти червоних вузлів чорні, а всі шляхи мають однакову чорну висоту, що утримує висоту ≤ 2 log₂(n + 1).

Відповідь

D · Кожен шлях від вузла до його листків-нащадків містить однакову кількість чорних вузлів
5.Теорія графів

Відповідь: k = 9

Ейлер, Гамільтон і дерева: зв’язний граф має ейлерів цикл (кожне ребро один раз, з поверненням до початку), коли кожна вершина має парний степінь, і ейлерів шлях, що не є циклом, коли рівно дві вершини мають непарний степінь; тоді шлях іде від однієї непарної вершини до другої. Гамільтонів цикл відвідує кожну вершину один раз; у Kn їх (n − 1)!/2. Дерево на n вершинах має n − 1 ребро, а зв’язний граф з m ребрами зберігає остовне дерево після вилучення m − n + 1 ребер.

Ребра остовного дерева

10 − 1 = 9

Ребра для вилучення

k = 18 − 9 = 9

Відповідь

k = 9
6.Теорія графів

Відповідь: N = 2

Степені: степінь вершини — це кількість ребер, що в ній сходяться. Кожне ребро має два кінці, тож степені в сумі дають подвоєну кількість ребер: Σ deg(v) = 2|E| (лема про рукостискання). Тому кількість вершин з непарним степенем парна. Kn має n(n − 1)/2 ребер, k-регулярний граф на n вершинах має nk/2, а дерево на n вершинах має n − 1 ребро.

Матриця суміжності

A: 0 1 1 0 0
B: 1 0 1 1 1
C: 1 1 0 0 1
D: 0 1 0 0 1
E: 0 1 1 1 0

Спільні сусіди

(M²)EA = 0·0 + 1·1 + 1·1 + 1·0 + 0·0 = 2

Відповідь

N = 2

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms