Алгоритми та структури даних: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 6 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачіНазад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Теорія графів

Лема про рукостискання
Σ deg(v) = 2|E|
Повні графи
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Регулярний граф
|E| = n·k/2
Дерево і ліс
|E| = n − 1, |E| = n − c
Листки дерева
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Ейлер
цикл: усі степені парні; шлях: рівно 2 непарні степені
Гамільтонові цикли в Kn
(n − 1)!/2
Оновлення в алгоритмі Дейкстри
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Маршрути довжиною L
(Mᴸ)ij

Метод

  1. Випишіть степінь кожної вершини; сума степенів дорівнює подвоєній кількості ребер.
  2. У задачах про Ейлера перевірте, що граф зв’язний, і порахуйте вершини з непарним степенем.
  3. Для дерев використовуйте n − 1 ребро та лему про рукостискання.
  4. Для алгоритму Дейкстри ведіть таблицю попередніх відстаней і щоразу фіксуйте незафіксовану вершину з найменшою відстанню.
  5. Для мінімального остовного дерева відсортуйте ребра за вагою й пропускайте кожне ребро, що замикає цикл (Крускал), або нарощуйте одне дерево від початкової вершини (Прім).

2Задачі для практики

1.Алгоритми та складністьСередня

Чому основу логарифма в «великому O» зазвичай не вказують, як-от в O(log n)?

  1. AОснова має значення лише для малих n
  2. BЛогарифми завжди округлюють до цілих
  3. CЛогарифми з різними основами відрізняються лише сталим множником
  4. DУсі логарифми в інформатиці мають основу 10, тож вона мається на увазі
2.Алгоритми та складністьСкладна

Яке твердження про вибір k-го найменшого елемента невідсортованого масиву правильне?

  1. AQuickselect працює за очікуваний час O(n), а метод медіани медіан гарантує O(n) у найгіршому випадку
  2. BQuickselect працює за O(log n) у найгіршому випадку, бо рекурсивно переходить лише в один бік від опорного елемента
  3. CВибір можливий лише за O(n²)
  4. DВибір завжди потребує Ω(n log n), бо вимагає сортування
3.Структури данихСередня

Ключі 50, 30, 70, 20, 40 вставляють у такому порядку в порожнє бінарне дерево пошуку. Яка ліва дитина вузла 30?

  1. A70
  2. B40
  3. C20
  4. D50
4.Структури данихСкладна

Для кожного елемента масиву потрібно знайти наступний більший елемент праворуч від нього за загальний час O(n). Яка структура допоможе?

  1. AБінарне дерево пошуку, перебудоване для кожного елемента
  2. BСтек, що зберігає елементи, які чекають на свою відповідь
  3. CГеш-таблиця всіх елементів
  4. DЧерга, що містить кожну пару елементів
5.Теорія графівСередня

Дерево має 2 вершин степеня 5, 4 вершин степеня 2, а всі його інші вершини — листки (степінь 1). Скільки листків L воно має?

2 × deg 54 × deg 2
L =
6.Теорія графівСкладна
39811973558ABCDEFG

Алгоритм Дейкстри працює від A. Клікніть вершину, яку фіксують (роблять остаточною) у раунді 5; сама A — це раунд 1.

початок: Aраунд 5
  1. 1A
  2. 2B
  3. 3C
  4. 4D
  5. 5E
  6. 6F
  7. 7G

3Розчини

1.Алгоритми та складність

Відповідь: C · Логарифми з різними основами відрізняються лише сталим множником

Чому це відповідь

Зміна основи множить логарифм на сталу, а «велике O» ігнорує сталі множники.

Відповідь

C · Логарифми з різними основами відрізняються лише сталим множником
2.Алгоритми та складність

Відповідь: A · Quickselect працює за очікуваний час O(n), а метод медіани медіан гарантує O(n) у найгіршому випадку

Чому це відповідь

Очікувана робота quickselect із випадковими опорними елементами — n + n/2 + n/4 + ... = O(n); вибір опорного елемента як медіани медіан робить найгірший випадок лінійним.

Відповідь

A · Quickselect працює за очікуваний час O(n), а метод медіани медіан гарантує O(n) у найгіршому випадку
3.Структури даних

Відповідь: C · 20

Чому це відповідь

20 менше за 50 і менше за 30, тож стає лівою дитиною вузла 30; 40 стає його правою дитиною.

Відповідь

C · 20
4.Структури даних

Відповідь: B · Стек, що зберігає елементи, які чекають на свою відповідь

Чому це відповідь

Скануючи зліва направо, вийміть зі стека кожен елемент, менший за поточний (поточний елемент — їхня відповідь), а потім занесіть поточний; кожен елемент переміщується щонайбільше двічі.

Відповідь

B · Стек, що зберігає елементи, які чекають на свою відповідь
5.Теорія графів

Відповідь: L = 8

Ейлер, Гамільтон і дерева: зв’язний граф має ейлерів цикл (кожне ребро один раз, з поверненням до початку), коли кожна вершина має парний степінь, і ейлерів шлях, що не є циклом, коли рівно дві вершини мають непарний степінь; тоді шлях іде від однієї непарної вершини до другої. Гамільтонів цикл відвідує кожну вершину один раз; у Kn їх (n − 1)!/2. Дерево на n вершинах має n − 1 ребро, а зв’язний граф з m ребрами зберігає остовне дерево після вилучення m − n + 1 ребер.

Лема про рукостискання для дерева

L + 18 = 2(L + 6) − 2
L = 8

Відповідь

L = 8

Скорочення: L = 2 + Σ (d − 2) за вершинами зі степенем d ≥ 3.

6.Теорія графів

Відповідь: D

Найкоротші шляхи та остовні дерева: алгоритм Дейкстри фіксує одну вершину за раунд: незафіксовану вершину з найменшою попередньою відстанню. Її відстань тоді остаточна, а кожен сусід v отримує d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Алгоритм Крускала будує мінімальне остовне дерево, беручи ребра від легких до важких і пропускаючи кожне ребро, що замкнуло б цикл; алгоритм Пріма нарощує одне дерево від початкової вершини, завжди додаючи найлегше ребро, що виходить з нього. Остовне дерево з n вершин має n − 1 ребро.

Алгоритм Дейкстри раунд за раундом

1. A (0): B: 3, C: 9
2. B (3): G: 6
3. G (6): D: 11, E: 14
4. C (9)
5. D (11): F: 18
6. E (14)
7. F (18)

раунд 5

D

Відповідь

D

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms