Алгоритми та структури даних: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 6 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачіНазад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Теорія графів

Лема про рукостискання
Σ deg(v) = 2|E|
Повні графи
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Регулярний граф
|E| = n·k/2
Дерево і ліс
|E| = n − 1, |E| = n − c
Листки дерева
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Ейлер
цикл: усі степені парні; шлях: рівно 2 непарні степені
Гамільтонові цикли в Kn
(n − 1)!/2
Оновлення в алгоритмі Дейкстри
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Маршрути довжиною L
(Mᴸ)ij

Метод

  1. Випишіть степінь кожної вершини; сума степенів дорівнює подвоєній кількості ребер.
  2. У задачах про Ейлера перевірте, що граф зв’язний, і порахуйте вершини з непарним степенем.
  3. Для дерев використовуйте n − 1 ребро та лему про рукостискання.
  4. Для алгоритму Дейкстри ведіть таблицю попередніх відстаней і щоразу фіксуйте незафіксовану вершину з найменшою відстанню.
  5. Для мінімального остовного дерева відсортуйте ребра за вагою й пропускайте кожне ребро, що замикає цикл (Крускал), або нарощуйте одне дерево від початкової вершини (Прім).

2Задачі для практики

1.Алгоритми та складністьСередня

Що означає, що задача має оптимальну підструктуру?

  1. AЗадача має рівно один оптимальний розв'язок, спільний для кожної підзадачі
  2. BОптимальний розв'язок можна побудувати з оптимальних розв'язків її підзадач
  3. CЗадачу можна розв'язати за сталий час
  4. DУсі підзадачі мають однаковий розмір
2.Алгоритми та складністьСкладна

Чому бінарний пошук не дає часу O(log n) на однозв'язному списку?

  1. AЩоб дістатися середнього елемента, потрібно O(n) кроків, бо немає прямого доступу за індексом
  2. BПорівняння вузлів зв'язного списку повільніші
  3. CЗв'язні списки неможливо сортувати
  4. DБінарному пошуку потрібно щонайменше вдвічі більше пам'яті
3.Структури данихСередня

Що відбувається, коли геш-таблиця виконує повторне гешування (rehash) після того, як коефіцієнт заповнення перевищив поріг?

  1. AНайстаріші ключі видаляються, щоб звільнити місце
  2. BНаявні ключі сортуються на місці
  3. CВиділяється більша таблиця, і кожен ключ вставляється знову
  4. DЛише ключі з колізіями переміщуються в новий список переповнення в кінці таблиці
4.Структури данихСкладна

Ключі 5, 3, 8, 1 вставляють у такому порядку в порожню бінарну мін-купу на основі масиву. Який остаточний масив?

  1. A[1, 3, 5, 8]
  2. B[3, 1, 8, 5]
  3. C[1, 3, 8, 5]
  4. D[1, 5, 8, 3]
5.Теорія графівСередня

Скільки різних гамільтонових циклів H має повний граф K4? Цикли, що відрізняються лише початковою вершиною чи напрямком, вважаються однаковими.

K4
H =
6.Теорія графівСкладна
63211420169147ABCDEFG

Знайдіть загальну вагу W мінімального остовного дерева зваженого графа.

|V| = 7|E| = 10
W =

3Розчини

1.Алгоритми та складність

Відповідь: B · Оптимальний розв'язок можна побудувати з оптимальних розв'язків її підзадач

Чому це відповідь

Оптимальна підструктура потрібна, щоб і жадібні алгоритми, і динамічне програмування давали правильні відповіді.

Відповідь

B · Оптимальний розв'язок можна побудувати з оптимальних розв'язків її підзадач
2.Алгоритми та складність

Відповідь: A · Щоб дістатися середнього елемента, потрібно O(n) кроків, бо немає прямого доступу за індексом

Чому це відповідь

Бінарний пошук потребує доступу до середини за O(1); у зв'язному списку прохід туди коштує лінійного часу, тож загалом виходить O(n).

Відповідь

A · Щоб дістатися середнього елемента, потрібно O(n) кроків, бо немає прямого доступу за індексом
3.Структури даних

Відповідь: C · Виділяється більша таблиця, і кожен ключ вставляється знову

Чому це відповідь

Оскільки індекс обчислюється за модулем розміру таблиці, усі ключі треба повторно гешувати в нову, більшу таблицю; за подвоєння розміру це залишається O(1) амортизовано.

Відповідь

C · Виділяється більша таблиця, і кожен ключ вставляється знову
4.Структури даних

Відповідь: C · [1, 3, 8, 5]

Чому це відповідь

Після 5, 3, 8 масив — [3, 5, 8]; 1 потрапляє в індекс 3, обмінюється з батьком 5, а потім із 3, що дає [1, 3, 8, 5].

Відповідь

C · [1, 3, 8, 5]
5.Теорія графів

Відповідь: H = 3

Ейлер, Гамільтон і дерева: зв’язний граф має ейлерів цикл (кожне ребро один раз, з поверненням до початку), коли кожна вершина має парний степінь, і ейлерів шлях, що не є циклом, коли рівно дві вершини мають непарний степінь; тоді шлях іде від однієї непарної вершини до другої. Гамільтонів цикл відвідує кожну вершину один раз; у Kn їх (n − 1)!/2. Дерево на n вершинах має n − 1 ребро, а зв’язний граф з m ребрами зберігає остовне дерево після вилучення m − n + 1 ребер.

Порахуйте

H = (4 − 1)!/2 = 6/2 = 3

Відповідь

H = 3
6.Теорія графів

Відповідь: W = 41

Найкоротші шляхи та остовні дерева: алгоритм Дейкстри фіксує одну вершину за раунд: незафіксовану вершину з найменшою попередньою відстанню. Її відстань тоді остаточна, а кожен сусід v отримує d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Алгоритм Крускала будує мінімальне остовне дерево, беручи ребра від легких до важких і пропускаючи кожне ребро, що замкнуло б цикл; алгоритм Пріма нарощує одне дерево від початкової вершини, завжди додаючи найлегше ребро, що виходить з нього. Остовне дерево з n вершин має n − 1 ребро.

Алгоритм Крускала

BC (2): взяти
AC (3): взяти
DE (4): взяти
AB (6): пропустити, замикає цикл
GE (7): взяти
GC (9): взяти
BD (11): пропустити, замикає цикл
GD (14): пропустити, замикає цикл
EF (16): взяти

Загальна вага

W = 2 + 3 + 4 + 7 + 9 + 16 = 41

Відповідь

W = 41

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms