Алгоритми та структури даних: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 6 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачіНазад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Теорія графів

Лема про рукостискання
Σ deg(v) = 2|E|
Повні графи
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Регулярний граф
|E| = n·k/2
Дерево і ліс
|E| = n − 1, |E| = n − c
Листки дерева
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Ейлер
цикл: усі степені парні; шлях: рівно 2 непарні степені
Гамільтонові цикли в Kn
(n − 1)!/2
Оновлення в алгоритмі Дейкстри
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Маршрути довжиною L
(Mᴸ)ij

Метод

  1. Випишіть степінь кожної вершини; сума степенів дорівнює подвоєній кількості ребер.
  2. У задачах про Ейлера перевірте, що граф зв’язний, і порахуйте вершини з непарним степенем.
  3. Для дерев використовуйте n − 1 ребро та лему про рукостискання.
  4. Для алгоритму Дейкстри ведіть таблицю попередніх відстаней і щоразу фіксуйте незафіксовану вершину з найменшою відстанню.
  5. Для мінімального остовного дерева відсортуйте ребра за вагою й пропускайте кожне ребро, що замикає цикл (Крускал), або нарощуйте одне дерево від початкової вершини (Прім).

2Задачі для практики

1.Алгоритми та складністьСередня

Жадібний алгоритм:

  1. AВикористовує лише рекурсію
  2. BЗавжди дає оптимальний розв'язок
  3. CНа кожному кроці робить локально найкращий вибір
  4. DПеребирає всі можливі розв'язки
2.Алгоритми та складністьСкладна

Для якого варіанта задачі про рюкзак жадібне правило «брати предмети в порядку цінності на одиницю ваги» завжди дає оптимальну відповідь?

  1. AДля обох варіантів
  2. BДля неперервного (дробового) рюкзака, де предмети можна ділити
  3. CДля жодного варіанта
  4. DДля рюкзака 0/1, де предмети завжди потрібно брати цілими
3.Структури данихСередня

Як вставляють новий елемент у бінарну купу?

  1. AРозміщують його в корені й просіюють униз
  2. BПеребудовують усю купу з нуля
  3. CВставляють його на відсортовану позицію, зсуваючи всі більші елементи на одне місце праворуч
  4. DРозміщують його в кінці масиву й просіюють угору, поки він порушує властивість купи
4.Структури данихСкладна

Вставлення ключа в AVL-дерево робить ліве піддерево вузла надто високим, причому новий ключ потрапив у ліве піддерево його лівої дитини (випадок «ліво-ліво»). Яке виправлення застосовують?

  1. AПерефарбування вузла та його дитини
  2. BОдинарний лівий поворот у незбалансованому вузлі
  3. CОдинарний правий поворот у незбалансованому вузлі
  4. DЛівий поворот у дитині, потім правий поворот у вузлі
5.Теорія графівСередня
ABCDEЕйлерів циклЕйлерів шлях, не циклжодна з цих

Чи має зв’язний граф ейлерів цикл, ейлерів шлях, що не є циклом, чи нічого з цього? Клікніть свою відповідь.

|V| = 5|E| = 6
  1. 1Ейлерів цикл
  2. 2Ейлерів шлях, не цикл
  3. 3жодна з цих
6.Теорія графівСкладна
6114111596814ABCDEFG

Скористайтеся алгоритмом Дейкстри, щоб знайти довжину d(F) найкоротшого шляху від A до F у зваженому графі.

початок: Aкінець: F
d(F) =

3Розчини

1.Алгоритми та складність

Відповідь: C · На кожному кроці робить локально найкращий вибір

Чому це відповідь

Жадібні алгоритми швидкі й для деяких задач оптимальні (наприклад, алгоритм Дейкстри, кодування Гаффмана), але не загалом (наприклад, задача про видачу решти для деяких систем монет).

Відповідь

C · На кожному кроці робить локально найкращий вибір
2.Алгоритми та складність

Відповідь: B · Для неперервного (дробового) рюкзака, де предмети можна ділити

Чому це відповідь

Коли предмети можна ділити, оптимально брати спершу з найкращим відношенням; у рюкзаку 0/1 предмет із високим відношенням може заблокувати кращу комбінацію, тож потрібне динамічне програмування.

Відповідь

B · Для неперервного (дробового) рюкзака, де предмети можна ділити
3.Структури даних

Відповідь: D · Розміщують його в кінці масиву й просіюють угору, поки він порушує властивість купи

Чому це відповідь

Додавання в кінець зберігає повноту дерева; обміни з батьком відновлюють порядок за O(log n) кроків.

Відповідь

D · Розміщують його в кінці масиву й просіюють угору, поки він порушує властивість купи
4.Структури даних

Відповідь: C · Одинарний правий поворот у незбалансованому вузлі

Чому це відповідь

У випадку «ліво-ліво» один правий поворот піднімає ліву дитину вгору й відновлює баланс; зигзагоподібні випадки потребують подвійного повороту.

Відповідь

C · Одинарний правий поворот у незбалансованому вузлі
5.Теорія графів

Відповідь: жодна з цих

Ейлер, Гамільтон і дерева: зв’язний граф має ейлерів цикл (кожне ребро один раз, з поверненням до початку), коли кожна вершина має парний степінь, і ейлерів шлях, що не є циклом, коли рівно дві вершини мають непарний степінь; тоді шлях іде від однієї непарної вершини до другої. Гамільтонів цикл відвідує кожну вершину один раз; у Kn їх (n − 1)!/2. Дерево на n вершинах має n − 1 ребро, а зв’язний граф з m ребрами зберігає остовне дерево після вилучення m − n + 1 ребер.

Степені

deg(A) = 2, deg(B) = 3, deg(C) = 3, deg(D) = 1, deg(E) = 3

Непарні вершини

B, C, D, E → 4
жодна з цих

Відповідь

жодна з цих
6.Теорія графів

Відповідь: d(F) = 34

Найкоротші шляхи та остовні дерева: алгоритм Дейкстри фіксує одну вершину за раунд: незафіксовану вершину з найменшою попередньою відстанню. Її відстань тоді остаточна, а кожен сусід v отримує d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Алгоритм Крускала будує мінімальне остовне дерево, беручи ребра від легких до важких і пропускаючи кожне ребро, що замкнуло б цикл; алгоритм Пріма нарощує одне дерево від початкової вершини, завжди додаючи найлегше ребро, що виходить з нього. Остовне дерево з n вершин має n − 1 ребро.

Алгоритм Дейкстри раунд за раундом

Кожен рядок: зафіксована вершина, її остаточна відстань і сусіди, чия відстань покращується.

A (0): B: 6
B (6): C: 17, G: 15
G (15): D: 23, E: 29
C (17)
D (23): E: 27, F: 34
E (27)
F (34)

Найкоротший шлях

A → B → G → D → F
d(F) = 34

Відповідь

d(F) = 34

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms