Алгоритми та структури даних: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 6 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачіНазад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Теорія графів

Лема про рукостискання
Σ deg(v) = 2|E|
Повні графи
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Регулярний граф
|E| = n·k/2
Дерево і ліс
|E| = n − 1, |E| = n − c
Листки дерева
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Ейлер
цикл: усі степені парні; шлях: рівно 2 непарні степені
Гамільтонові цикли в Kn
(n − 1)!/2
Оновлення в алгоритмі Дейкстри
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Маршрути довжиною L
(Mᴸ)ij

Метод

  1. Випишіть степінь кожної вершини; сума степенів дорівнює подвоєній кількості ребер.
  2. У задачах про Ейлера перевірте, що граф зв’язний, і порахуйте вершини з непарним степенем.
  3. Для дерев використовуйте n − 1 ребро та лему про рукостискання.
  4. Для алгоритму Дейкстри ведіть таблицю попередніх відстаней і щоразу фіксуйте незафіксовану вершину з найменшою відстанню.
  5. Для мінімального остовного дерева відсортуйте ребра за вагою й пропускайте кожне ребро, що замикає цикл (Крускал), або нарощуйте одне дерево від початкової вершини (Прім).

2Задачі для практики

1.Алгоритми та складністьСередня

Яке твердження про рекурсивну функцію без досяжного базового випадку правильне?

  1. AВона викликає себе, доки не переповниться стек викликів
  2. BКомпілятор завжди перетворює її на цикл, що безпечно завершується
  3. CВона виконується за час O(1)
  4. DВона автоматично повертає 0
2.Алгоритми та складністьСкладна

Яке твердження про вибір k-го найменшого елемента невідсортованого масиву правильне?

  1. AВибір можливий лише за O(n²)
  2. BВибір завжди потребує Ω(n log n), бо вимагає сортування
  3. CQuickselect працює за O(log n) у найгіршому випадку, бо рекурсивно переходить лише в один бік від опорного елемента
  4. DQuickselect працює за очікуваний час O(n), а метод медіани медіан гарантує O(n) у найгіршому випадку
3.Структури данихСередня

Яка висота бінарного дерева пошуку з n вузлами в найгіршому випадку, якщо ключі вставляються у відсортованому порядку?

  1. Alog₂ n
  2. B√n
  3. Cn (дерево перетворюється на зв'язний список)
  4. D1
4.Структури данихСкладна

Часова складність операції decrease-key у бінарній купі (за відомої позиції елемента) становить:

  1. AO(log n)
  2. BO(n log n)
  3. CO(n)
  4. DO(1)
5.Теорія графівСередня
ABCDEЕйлерів циклЕйлерів шлях, не циклжодна з цих

Чи має зв’язний граф ейлерів цикл, ейлерів шлях, що не є циклом, чи нічого з цього? Клікніть свою відповідь.

|V| = 5|E| = 6
  1. 1Ейлерів цикл
  2. 2Ейлерів шлях, не цикл
  3. 3жодна з цих
6.Теорія графівСкладна
ABCDEF

Скільки замкнених маршрутів довжиною 2 починаються й закінчуються в D? Маршрут може повторювати вершини й ребра. Позначте число N.

M = матриця суміжностіL = 2
N =

3Розчини

1.Алгоритми та складність

Відповідь: A · Вона викликає себе, доки не переповниться стек викликів

Чому це відповідь

Без базового випадку рекурсія ніколи не зупиняється; на практиці пам'ять для кадрів стека вичерпується, і програма аварійно завершується.

Відповідь

A · Вона викликає себе, доки не переповниться стек викликів
2.Алгоритми та складність

Відповідь: D · Quickselect працює за очікуваний час O(n), а метод медіани медіан гарантує O(n) у найгіршому випадку

Чому це відповідь

Очікувана робота quickselect із випадковими опорними елементами — n + n/2 + n/4 + ... = O(n); вибір опорного елемента як медіани медіан робить найгірший випадок лінійним.

Відповідь

D · Quickselect працює за очікуваний час O(n), а метод медіани медіан гарантує O(n) у найгіршому випадку
3.Структури даних

Відповідь: C · n (дерево перетворюється на зв'язний список)

Чому це відповідь

Вставлення відсортованих ключів створює вироджене дерево висотою n, тому пошук стає O(n). Збалансовані дерева цьому запобігають.

Відповідь

C · n (дерево перетворюється на зв'язний список)
4.Структури даних

Відповідь: A · O(log n)

Чому це відповідь

Після зменшення ключа елемент піднімається щонайбільше на висоту купи. Купи Фібоначчі досягають амортизованого decrease-key за O(1).

Відповідь

A · O(log n)
5.Теорія графів

Відповідь: Ейлерів цикл

Ейлер, Гамільтон і дерева: зв’язний граф має ейлерів цикл (кожне ребро один раз, з поверненням до початку), коли кожна вершина має парний степінь, і ейлерів шлях, що не є циклом, коли рівно дві вершини мають непарний степінь; тоді шлях іде від однієї непарної вершини до другої. Гамільтонів цикл відвідує кожну вершину один раз; у Kn їх (n − 1)!/2. Дерево на n вершинах має n − 1 ребро, а зв’язний граф з m ребрами зберігає остовне дерево після вилучення m − n + 1 ребер.

Степені

deg(A) = 2, deg(B) = 4, deg(C) = 2, deg(D) = 2, deg(E) = 2

Непарні вершини

0
Ейлерів цикл

Відповідь

Ейлерів цикл
6.Теорія графів

Відповідь: N = 2

Степені: степінь вершини — це кількість ребер, що в ній сходяться. Кожне ребро має два кінці, тож степені в сумі дають подвоєну кількість ребер: Σ deg(v) = 2|E| (лема про рукостискання). Тому кількість вершин з непарним степенем парна. Kn має n(n − 1)/2 ребер, k-регулярний граф на n вершинах має nk/2, а дерево на n вершинах має n − 1 ребро.

Матриця суміжності

A: 0 1 1 0 0 0
B: 1 0 1 1 1 0
C: 1 1 0 0 1 0
D: 0 1 0 0 1 0
E: 0 1 1 1 0 1
F: 0 0 0 0 1 0

Спільні сусіди

(M²)DD = 0·0 + 1·1 + 0·0 + 0·0 + 1·1 + 0·0 = 2

Відповідь

N = 2

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms