Алгоритми та структури даних: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 6 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачіНазад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Теорія графів

Лема про рукостискання
Σ deg(v) = 2|E|
Повні графи
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Регулярний граф
|E| = n·k/2
Дерево і ліс
|E| = n − 1, |E| = n − c
Листки дерева
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Ейлер
цикл: усі степені парні; шлях: рівно 2 непарні степені
Гамільтонові цикли в Kn
(n − 1)!/2
Оновлення в алгоритмі Дейкстри
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Маршрути довжиною L
(Mᴸ)ij

Метод

  1. Випишіть степінь кожної вершини; сума степенів дорівнює подвоєній кількості ребер.
  2. У задачах про Ейлера перевірте, що граф зв’язний, і порахуйте вершини з непарним степенем.
  3. Для дерев використовуйте n − 1 ребро та лему про рукостискання.
  4. Для алгоритму Дейкстри ведіть таблицю попередніх відстаней і щоразу фіксуйте незафіксовану вершину з найменшою відстанню.
  5. Для мінімального остовного дерева відсортуйте ребра за вагою й пропускайте кожне ребро, що замикає цикл (Крускал), або нарощуйте одне дерево від початкової вершини (Прім).

2Задачі для практики

1.Алгоритми та складністьСередня

Яка часова складність стандартного алгоритму динамічного програмування для найдовшої спільної підпослідовності рядків довжиною m і n?

  1. AO(m + n)
  2. BO(mn log n)
  3. CO(2m+n)
  4. DO(mn)
2.Алгоритми та складністьСкладна

Яке твердження про P і NP є правильним?

  1. AКожна задача з P також належить до NP
  2. BNP означає «неполіноміальний» (not polynomial)
  3. CРозв'язки задач NP неможливо швидко перевірити
  4. DДоведено, що P ≠ NP
3.Структури данихСередня

Що правильно щодо матриці суміжності неорієнтованого графа?

  1. AЇї головна діагональ завжди містить одиниці
  2. BКожен рядок містить рівно одну 1
  3. CВона завжди верхньотрикутна
  4. DВона симетрична відносно головної діагоналі
4.Структури данихСкладна

Вставлення ключа в AVL-дерево робить ліве піддерево вузла надто високим, причому новий ключ потрапив у ліве піддерево його лівої дитини (випадок «ліво-ліво»). Яке виправлення застосовують?

  1. AПерефарбування вузла та його дитини
  2. BОдинарний лівий поворот у незбалансованому вузлі
  3. CЛівий поворот у дитині, потім правий поворот у вузлі
  4. DОдинарний правий поворот у незбалансованому вузлі
5.Теорія графівСередня

Скільки різних гамільтонових циклів H має повний граф K7? Цикли, що відрізняються лише початковою вершиною чи напрямком, вважаються однаковими.

K7
H =
6.Теорія графівСкладна
203814151912ABCDE

Алгоритм Пріма будує мінімальне остовне дерево, починаючи з вершини B. Клікніть ребро, яке він додає як ребро номер 4.

початок: Bk = 4
  1. 1ребро AB
  2. 2ребро AC
  3. 3ребро BC
  4. 4ребро BD
  5. 5ребро CE
  6. 6ребро DE
  7. 7ребро BE

3Розчини

1.Алгоритми та складність

Відповідь: D · O(mn)

Чому це відповідь

Таблиця має (m + 1)(n + 1) клітинок, і кожна обчислюється за O(1) із сусідніх.

Відповідь

D · O(mn)
2.Алгоритми та складність

Відповідь: A · Кожна задача з P також належить до NP

Чому це відповідь

P ⊆ NP: якщо Ви можете швидко розв'язати задачу, Ви можете й швидко перевірити розв'язок. Питання, чи P = NP, досі відкрите.

Відповідь

A · Кожна задача з P також належить до NP
3.Структури даних

Відповідь: D · Вона симетрична відносно головної діагоналі

Чому це відповідь

У неорієнтованому графі ребро {u, v} означає, що встановлено і M[u][v], і M[v][u], тож матриця дорівнює своїй транспонованій.

Відповідь

D · Вона симетрична відносно головної діагоналі
4.Структури даних

Відповідь: D · Одинарний правий поворот у незбалансованому вузлі

Чому це відповідь

У випадку «ліво-ліво» один правий поворот піднімає ліву дитину вгору й відновлює баланс; зигзагоподібні випадки потребують подвійного повороту.

Відповідь

D · Одинарний правий поворот у незбалансованому вузлі
5.Теорія графів

Відповідь: H = 360

Ейлер, Гамільтон і дерева: зв’язний граф має ейлерів цикл (кожне ребро один раз, з поверненням до початку), коли кожна вершина має парний степінь, і ейлерів шлях, що не є циклом, коли рівно дві вершини мають непарний степінь; тоді шлях іде від однієї непарної вершини до другої. Гамільтонів цикл відвідує кожну вершину один раз; у Kn їх (n − 1)!/2. Дерево на n вершинах має n − 1 ребро, а зв’язний граф з m ребрами зберігає остовне дерево після вилучення m − n + 1 ребер.

Порахуйте

H = (7 − 1)!/2 = 720/2 = 360

Відповідь

H = 360
6.Теорія графів

Відповідь: ребро BD

Найкоротші шляхи та остовні дерева: алгоритм Дейкстри фіксує одну вершину за раунд: незафіксовану вершину з найменшою попередньою відстанню. Її відстань тоді остаточна, а кожен сусід v отримує d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Алгоритм Крускала будує мінімальне остовне дерево, беручи ребра від легких до важких і пропускаючи кожне ребро, що замкнуло б цикл; алгоритм Пріма нарощує одне дерево від початкової вершини, завжди додаючи найлегше ребро, що виходить з нього. Остовне дерево з n вершин має n − 1 ребро.

Алгоритм Пріма

1. BC (8)
2. AC (3)
3. BE (12)
4. BD (14)

номер ребра 4

BD

Відповідь

ребро BD

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms