Алгоритми та структури даних: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 6 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачіНазад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Теорія графів

Лема про рукостискання
Σ deg(v) = 2|E|
Повні графи
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Регулярний граф
|E| = n·k/2
Дерево і ліс
|E| = n − 1, |E| = n − c
Листки дерева
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Ейлер
цикл: усі степені парні; шлях: рівно 2 непарні степені
Гамільтонові цикли в Kn
(n − 1)!/2
Оновлення в алгоритмі Дейкстри
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Маршрути довжиною L
(Mᴸ)ij

Метод

  1. Випишіть степінь кожної вершини; сума степенів дорівнює подвоєній кількості ребер.
  2. У задачах про Ейлера перевірте, що граф зв’язний, і порахуйте вершини з непарним степенем.
  3. Для дерев використовуйте n − 1 ребро та лему про рукостискання.
  4. Для алгоритму Дейкстри ведіть таблицю попередніх відстаней і щоразу фіксуйте незафіксовану вершину з найменшою відстанню.
  5. Для мінімального остовного дерева відсортуйте ребра за вагою й пропускайте кожне ребро, що замикає цикл (Крускал), або нарощуйте одне дерево від початкової вершини (Прім).

2Задачі для практики

1.Алгоритми та складністьСередня

Чи правильно казати, що алгоритм O(n²) є також O(n³)?

  1. AНі, бо для великих n n³ менше за n²
  2. BТак, але лише якщо n менше за 100
  3. CНі, бо «велике O» завжди має вказувати точну швидкість зростання функції
  4. DТак, бо «велике O» — верхня межа, а n² зростає не швидше, ніж n³
2.Алгоритми та складністьСкладна

Яка часова складність побудови бінарної купи з n невідсортованих елементів висхідним методом (bottom-up)?

  1. AO(n²)
  2. BO(log n)
  3. CO(n log n)
  4. DO(n)
3.Структури данихСередня

Що правильно щодо матриці суміжності неорієнтованого графа?

  1. AВона симетрична відносно головної діагоналі
  2. BВона завжди верхньотрикутна
  3. CКожен рядок містить рівно одну 1
  4. DЇї головна діагональ завжди містить одиниці
4.Структури данихСкладна

Об'єкт зберігається як ключ у геш-відображенні (hash map), а потім змінюється поле, яке використовує його геш-функція. Який імовірний результат?

  1. AВідображення видає помилку в момент зміни поля
  2. BПошук об'єкта може не вдатися, бо він лежить у кошику для свого старого гешу
  3. CНічого не змінюється, бо геш ключа обчислюється лише раз, коли програма запускається
  4. DВідображення автоматично переміщує ключ у новий кошик
5.Теорія графівСередня
ABCDEЕйлерів циклЕйлерів шлях, не циклжодна з цих

Чи має зв’язний граф ейлерів цикл, ейлерів шлях, що не є циклом, чи нічого з цього? Клікніть свою відповідь.

|V| = 5|E| = 5
  1. 1Ейлерів цикл
  2. 2Ейлерів шлях, не цикл
  3. 3жодна з цих
6.Теорія графівСкладна
818111274206ABCDEF

Алгоритм Крускала будує мінімальне остовне дерево. Клікніть ребро, яке він додає як ребро номер 2; пропущені ребра не враховуються.

k = 2
  1. 1ребро AB
  2. 2ребро AC
  3. 3ребро BD
  4. 4ребро CE
  5. 5ребро DE
  6. 6ребро DF
  7. 7ребро EF
  8. 8ребро BE

3Розчини

1.Алгоритми та складність

Відповідь: D · Так, бо «велике O» — верхня межа, а n² зростає не швидше, ніж n³

Чому це відповідь

«Велике O» — верхня межа, тож твердження правильне, але не точне; Θ(n²) задає точну швидкість зростання.

Відповідь

D · Так, бо «велике O» — верхня межа, а n² зростає не швидше, ніж n³
2.Алгоритми та складність

Відповідь: D · O(n)

Чому це відповідь

Сума витрат на просіювання вниз (sift-down) за всіма рівнями утворює збіжний ряд, тому побудова купи (heapify) виконується за лінійний час.

Відповідь

D · O(n)
3.Структури даних

Відповідь: A · Вона симетрична відносно головної діагоналі

Чому це відповідь

У неорієнтованому графі ребро {u, v} означає, що встановлено і M[u][v], і M[v][u], тож матриця дорівнює своїй транспонованій.

Відповідь

A · Вона симетрична відносно головної діагоналі
4.Структури даних

Відповідь: B · Пошук об'єкта може не вдатися, бо він лежить у кошику для свого старого гешу

Чому це відповідь

Розташування ключа обрано за його старим гешем; з новим гешем пошук іде не в тому кошику, тому ключі мають бути незмінними.

Відповідь

B · Пошук об'єкта може не вдатися, бо він лежить у кошику для свого старого гешу
5.Теорія графів

Відповідь: Ейлерів цикл

Ейлер, Гамільтон і дерева: зв’язний граф має ейлерів цикл (кожне ребро один раз, з поверненням до початку), коли кожна вершина має парний степінь, і ейлерів шлях, що не є циклом, коли рівно дві вершини мають непарний степінь; тоді шлях іде від однієї непарної вершини до другої. Гамільтонів цикл відвідує кожну вершину один раз; у Kn їх (n − 1)!/2. Дерево на n вершинах має n − 1 ребро, а зв’язний граф з m ребрами зберігає остовне дерево після вилучення m − n + 1 ребер.

Степені

deg(A) = 2, deg(B) = 2, deg(C) = 2, deg(D) = 2, deg(E) = 2

Непарні вершини

0
Ейлерів цикл

Відповідь

Ейлерів цикл
6.Теорія графів

Відповідь: ребро BE

Найкоротші шляхи та остовні дерева: алгоритм Дейкстри фіксує одну вершину за раунд: незафіксовану вершину з найменшою попередньою відстанню. Її відстань тоді остаточна, а кожен сусід v отримує d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Алгоритм Крускала будує мінімальне остовне дерево, беручи ребра від легких до важких і пропускаючи кожне ребро, що замкнуло б цикл; алгоритм Пріма нарощує одне дерево від початкової вершини, завжди додаючи найлегше ребро, що виходить з нього. Остовне дерево з n вершин має n − 1 ребро.

Алгоритм Крускала

1. DF (4)
2. BE (6)
3. DE (7)
4. AB (8)
5. CE (12)

номер ребра 2

BE

Відповідь

ребро BE

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms