Алгоритми та структури даних: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 6 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачіНазад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Теорія графів

Лема про рукостискання
Σ deg(v) = 2|E|
Повні графи
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Регулярний граф
|E| = n·k/2
Дерево і ліс
|E| = n − 1, |E| = n − c
Листки дерева
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Ейлер
цикл: усі степені парні; шлях: рівно 2 непарні степені
Гамільтонові цикли в Kn
(n − 1)!/2
Оновлення в алгоритмі Дейкстри
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Маршрути довжиною L
(Mᴸ)ij

Метод

  1. Випишіть степінь кожної вершини; сума степенів дорівнює подвоєній кількості ребер.
  2. У задачах про Ейлера перевірте, що граф зв’язний, і порахуйте вершини з непарним степенем.
  3. Для дерев використовуйте n − 1 ребро та лему про рукостискання.
  4. Для алгоритму Дейкстри ведіть таблицю попередніх відстаней і щоразу фіксуйте незафіксовану вершину з найменшою відстанню.
  5. Для мінімального остовного дерева відсортуйте ребра за вагою й пропускайте кожне ребро, що замикає цикл (Крускал), або нарощуйте одне дерево від початкової вершини (Прім).

2Задачі для практики

1.Алгоритми та складністьСередня

Нижня межа для сортування на основі порівнянь у найгіршому випадку становить:

  1. AΩ(n²)
  2. BΩ(n)
  3. CΩ(log n)
  4. DΩ(n log n)
2.Алгоритми та складністьСкладна

Узявши обидва кінці кожного ребра максимального (за включенням) паросполучення, отримують вершинне покриття. Наскільки воно добре?

  1. AЩонайбільше вдвічі більше за мінімальне вершинне покриття
  2. BЩонайбільше в log n разів більше за мінімум
  3. CНевідомої якості порівняно з оптимумом
  4. DЗавжди мінімальне вершинне покриття
3.Структури данихСередня

Яка вартість вставлення елемента в середину масиву з n елементів?

  1. AO(1), бо індекс відомий
  2. BO(n), бо наступні елементи доводиться зсувати
  3. CO(n²), бо кожен елемент переміщується n разів
  4. DO(log n) через бінарний пошук
4.Структури данихСкладна

Часова складність операції decrease-key у бінарній купі (за відомої позиції елемента) становить:

  1. AO(n)
  2. BO(1)
  3. CO(log n)
  4. DO(n log n)
5.Теорія графівСередня

Дерево має 3 вершин степеня 5, а всі його інші вершини — листки (степінь 1). Скільки листків L воно має?

3 × deg 5
L =
6.Теорія графівСкладна
ABCDEF

Скільки маршрутів довжиною 3 ведуть від B до F? Маршрут може повторювати вершини й ребра. Позначте число N.

M = матриця суміжностіL = 3
N =

3Розчини

1.Алгоритми та складність

Відповідь: D · Ω(n log n)

Чому це відповідь

Будь-якому сортуванню порівняннями в найгіршому випадку потрібно щонайменше log₂(n!) ≈ n log n порівнянь. Сортування підрахунком (counting sort) обходить цю межу, бо не порівнює елементи.

Відповідь

D · Ω(n log n)
2.Алгоритми та складність

Відповідь: A · Щонайбільше вдвічі більше за мінімальне вершинне покриття

Чому це відповідь

Ребра паросполучення не мають спільних вершин, тож оптимуму потрібна щонайменше одна вершина на ребро, а цей метод бере дві: це 2-наближення.

Відповідь

A · Щонайбільше вдвічі більше за мінімальне вершинне покриття
3.Структури даних

Відповідь: B · O(n), бо наступні елементи доводиться зсувати

Чому це відповідь

Усі елементи після точки вставлення зсуваються на одну позицію праворуч, що займає час, пропорційний n.

Відповідь

B · O(n), бо наступні елементи доводиться зсувати
4.Структури даних

Відповідь: C · O(log n)

Чому це відповідь

Після зменшення ключа елемент піднімається щонайбільше на висоту купи. Купи Фібоначчі досягають амортизованого decrease-key за O(1).

Відповідь

C · O(log n)
5.Теорія графів

Відповідь: L = 11

Ейлер, Гамільтон і дерева: зв’язний граф має ейлерів цикл (кожне ребро один раз, з поверненням до початку), коли кожна вершина має парний степінь, і ейлерів шлях, що не є циклом, коли рівно дві вершини мають непарний степінь; тоді шлях іде від однієї непарної вершини до другої. Гамільтонів цикл відвідує кожну вершину один раз; у Kn їх (n − 1)!/2. Дерево на n вершинах має n − 1 ребро, а зв’язний граф з m ребрами зберігає остовне дерево після вилучення m − n + 1 ребер.

Лема про рукостискання для дерева

L + 15 = 2(L + 3) − 2
L = 11

Відповідь

L = 11

Скорочення: L = 2 + Σ (d − 2) за вершинами зі степенем d ≥ 3.

6.Теорія графів

Відповідь: N = 1

Степені: степінь вершини — це кількість ребер, що в ній сходяться. Кожне ребро має два кінці, тож степені в сумі дають подвоєну кількість ребер: Σ deg(v) = 2|E| (лема про рукостискання). Тому кількість вершин з непарним степенем парна. Kn має n(n − 1)/2 ребер, k-регулярний граф на n вершинах має nk/2, а дерево на n вершинах має n − 1 ребро.

Матриця суміжності

A: 0 0 1 0 0 0
B: 0 0 1 1 1 0
C: 1 1 0 0 1 0
D: 0 1 0 0 1 1
E: 0 1 1 1 0 0
F: 0 0 0 1 0 0

Ще один крок

(M³)BF = 1·0 + 3·0 + 1·0 + 1·1 + 2·0 + 1·0 = 1

Відповідь

N = 1

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms