Алгоритми та структури даних: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 6 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачіНазад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Теорія графів

Лема про рукостискання
Σ deg(v) = 2|E|
Повні графи
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Регулярний граф
|E| = n·k/2
Дерево і ліс
|E| = n − 1, |E| = n − c
Листки дерева
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Ейлер
цикл: усі степені парні; шлях: рівно 2 непарні степені
Гамільтонові цикли в Kn
(n − 1)!/2
Оновлення в алгоритмі Дейкстри
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Маршрути довжиною L
(Mᴸ)ij

Метод

  1. Випишіть степінь кожної вершини; сума степенів дорівнює подвоєній кількості ребер.
  2. У задачах про Ейлера перевірте, що граф зв’язний, і порахуйте вершини з непарним степенем.
  3. Для дерев використовуйте n − 1 ребро та лему про рукостискання.
  4. Для алгоритму Дейкстри ведіть таблицю попередніх відстаней і щоразу фіксуйте незафіксовану вершину з найменшою відстанню.
  5. Для мінімального остовного дерева відсортуйте ребра за вагою й пропускайте кожне ребро, що замикає цикл (Крускал), або нарощуйте одне дерево від початкової вершини (Прім).

2Задачі для практики

1.Алгоритми та складністьСередня

Який розв'язок рекурентного співвідношення T(n) = 2T(n − 1) + O(1)?

  1. AO(n²)
  2. BO(n)
  3. CO(n log n)
  4. DO(2ⁿ)
2.Алгоритми та складністьСкладна

Яке твердження про P і NP є правильним?

  1. AДоведено, що P ≠ NP
  2. BРозв'язки задач NP неможливо швидко перевірити
  3. CNP означає «неполіноміальний» (not polynomial)
  4. DКожна задача з P також належить до NP
3.Структури данихСередня

Чому бінарну купу можна зберігати в масиві без жодних вказівників?

  1. AЦе повне бінарне дерево, тож позиції визначаються простими формулами індексів
  2. BКупи ніколи не містять понад 100 елементів
  3. CМасиви автоматично зберігають ключі відсортованими, тож вказівники не потрібні
  4. DУсі ключі в купі однакові
4.Структури данихСкладна

Яка властивість підтримує кожне B-дерево ідеально збалансованим?

  1. AУсі листки розташовані на однаковій глибині
  2. BКлючі зберігаються лише в корені
  3. CКожен вузол має рівно двох дітей
  4. DКожен вузол зберігає один ключ
5.Теорія графівСередня

Дерево має 3 вершин степеня 3, а всі його інші вершини — листки (степінь 1). Скільки листків L воно має?

3 × deg 3
L =
6.Теорія графівСкладна
1348147103ABCDEF

Алгоритм Дейкстри працює від A. Клікніть вершину, яку фіксують (роблять остаточною) у раунді 4; сама A — це раунд 1.

початок: Aраунд 4
  1. 1A
  2. 2B
  3. 3C
  4. 4D
  5. 5E
  6. 6F

3Розчини

1.Алгоритми та складність

Відповідь: D · O(2ⁿ)

Чому це відповідь

Кількість викликів подвоюється на кожному рівні, а рівнів n, тож загалом виходить близько 2ⁿ, як у задачі про Ханойські вежі.

Відповідь

D · O(2ⁿ)
2.Алгоритми та складність

Відповідь: D · Кожна задача з P також належить до NP

Чому це відповідь

P ⊆ NP: якщо Ви можете швидко розв'язати задачу, Ви можете й швидко перевірити розв'язок. Питання, чи P = NP, досі відкрите.

Відповідь

D · Кожна задача з P також належить до NP
3.Структури даних

Відповідь: A · Це повне бінарне дерево, тож позиції визначаються простими формулами індексів

Чому це відповідь

Повнота означає відсутність прогалин, тож діти індексу i завжди розташовані в 2i + 1 і 2i + 2.

Відповідь

A · Це повне бінарне дерево, тож позиції визначаються простими формулами індексів
4.Структури даних

Відповідь: A · Усі листки розташовані на однаковій глибині

Чому це відповідь

Заповнені вузли розщеплюються вгору, а дерево стає вищим лише тоді, коли розщеплюється корінь, тож усі листки завжди залишаються на одному рівні.

Відповідь

A · Усі листки розташовані на однаковій глибині
5.Теорія графів

Відповідь: L = 5

Ейлер, Гамільтон і дерева: зв’язний граф має ейлерів цикл (кожне ребро один раз, з поверненням до початку), коли кожна вершина має парний степінь, і ейлерів шлях, що не є циклом, коли рівно дві вершини мають непарний степінь; тоді шлях іде від однієї непарної вершини до другої. Гамільтонів цикл відвідує кожну вершину один раз; у Kn їх (n − 1)!/2. Дерево на n вершинах має n − 1 ребро, а зв’язний граф з m ребрами зберігає остовне дерево після вилучення m − n + 1 ребер.

Лема про рукостискання для дерева

L + 9 = 2(L + 3) − 2
L = 5

Відповідь

L = 5

Скорочення: L = 2 + Σ (d − 2) за вершинами зі степенем d ≥ 3.

6.Теорія графів

Відповідь: E

Найкоротші шляхи та остовні дерева: алгоритм Дейкстри фіксує одну вершину за раунд: незафіксовану вершину з найменшою попередньою відстанню. Її відстань тоді остаточна, а кожен сусід v отримує d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Алгоритм Крускала будує мінімальне остовне дерево, беручи ребра від легких до важких і пропускаючи кожне ребро, що замкнуло б цикл; алгоритм Пріма нарощує одне дерево від початкової вершини, завжди додаючи найлегше ребро, що виходить з нього. Остовне дерево з n вершин має n − 1 ребро.

Алгоритм Дейкстри раунд за раундом

1. A (0): B: 1, C: 3
2. B (1): D: 9, E: 4
3. C (3)
4. E (4): F: 14
5. D (9)
6. F (14)

раунд 4

E

Відповідь

E

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms