Алгоритми та структури даних: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 6 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Теорія графів

Лема про рукостискання: Σ deg(v) = 2|E|
Повні графи: |E(K_n)| = n(n − 1)/2, |E(K_m,n)| = m·n
Регулярний граф: |E| = n·k/2
Дерево і ліс: |E| = n − 1, |E| = n − c
Листки дерева: L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Ейлер: цикл: усі степені парні; шлях: рівно 2 непарні степені
Гамільтонові цикли в K_n: (n − 1)!/2
Оновлення в алгоритмі Дейкстри: d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Маршрути довжиною L: (Mᴸ)_ij

Метод

Випишіть степінь кожної вершини; сума степенів дорівнює подвоєній кількості ребер.
У задачах про Ейлера перевірте, що граф зв’язний, і порахуйте вершини з непарним степенем.
Для дерев використовуйте n − 1 ребро та лему про рукостискання.
Для алгоритму Дейкстри ведіть таблицю попередніх відстаней і щоразу фіксуйте незафіксовану вершину з найменшою відстанню.
Для мінімального остовного дерева відсортуйте ребра за вагою й пропускайте кожне ребро, що замикає цикл (Крускал), або нарощуйте одне дерево від початкової вершини (Прім).

2Задачі для практики

1.Алгоритми та складністьСередня

Чому багато бібліотечних процедур сортування переходять на сортування вставками для дуже малих підмасивів?

AРекурсивні алгоритми не можуть обробляти масиви менші за 10 елементів
BСортування вставками має складність O(n log n) у найгіршому випадку
CСортування вставками використовує менше пам'яті, ніж будь-який інший алгоритм сортування, на великих даних
DСортування вставками має малі накладні витрати й швидке на малих або майже відсортованих даних

2.Алгоритми та складністьСкладна

Яке визначення класу P правильне?

AЗадачі розпізнавання, розв'язні детермінованим алгоритмом за поліноміальний час
BЗадачі, розв'язки яких можна перевірити, але ніколи не можна знайти за поліноміальний час
CЗадачі, які можна розв'язати паралельно
DЗадачі, що потребують експоненційного часу на будь-якому комп'ютері

3.Структури данихСередня

Як працює extract-min у бінарній мін-купі?

AВидаляють останній елемент масиву
BШукають новий мінімум серед усіх листків
CОстанній елемент переміщують у корінь і просіюють униз
DВидаляють корінь і зсувають усі елементи на одну позицію ліворуч

4.Структури данихСкладна

Чому зі стандартного фільтра Блума не можна просто видаляти елементи, очищаючи їхні біти?

AФільтри Блума зберігають повні елементи, і після гешування їх неможливо знайти знову
BЦі біти можуть належати й іншим елементам, що спричинило б хибнонегативні результати
CВидалення підвищило б частку хибнопозитивних результатів до 100%
DБіти у фільтрі Блума не можна змінювати після створення

5.Теорія графівСередня

Скільки різних гамільтонових циклів H має повний граф K₈? Цикли, що відрізняються лише початковою вершиною чи напрямком, вважаються однаковими.

K₈

H =

6.Теорія графівСкладна

Скористайтеся алгоритмом Дейкстри, щоб знайти довжину d(F) найкоротшого шляху від A до F у зваженому графі.

початок: Aкінець: F

d(F) =

3Розчини

1.Алгоритми та складність

Відповідь: D · Сортування вставками має малі накладні витрати й швидке на малих або майже відсортованих даних

Чому це відповідь

Для малих n простий цикл сортування вставками перевершує накладні витрати рекурсії швидкого сортування чи сортування злиттям, хоча воно й O(n²).

Відповідь

D · Сортування вставками має малі накладні витрати й швидке на малих або майже відсортованих даних

2.Алгоритми та складність

Відповідь: A · Задачі розпізнавання, розв'язні детермінованим алгоритмом за поліноміальний час

Чому це відповідь

P містить задачі розпізнавання з детермінованим поліноміальним алгоритмом, як-от перевірка зв'язності графа.

Відповідь

A · Задачі розпізнавання, розв'язні детермінованим алгоритмом за поліноміальний час

3.Структури даних

Відповідь: C · Останній елемент переміщують у корінь і просіюють униз

Чому це відповідь

Останній елемент заповнює порожнє місце в корені й обмінюється з меншою дитиною, доки не виконується властивість купи, що займає O(log n).

Відповідь

C · Останній елемент переміщують у корінь і просіюють униз

4.Структури даних

Відповідь: B · Ці біти можуть належати й іншим елементам, що спричинило б хибнонегативні результати

Чому це відповідь

Очищення спільного біта зробило б інший елемент нібито відсутнім; лічильні фільтри Блума замість бітів зберігають лічильники, щоб дозволити видалення.

Відповідь

B · Ці біти можуть належати й іншим елементам, що спричинило б хибнонегативні результати

5.Теорія графів

Відповідь: H = 2520

Ейлер, Гамільтон і дерева: зв’язний граф має ейлерів цикл (кожне ребро один раз, з поверненням до початку), коли кожна вершина має парний степінь, і ейлерів шлях, що не є циклом, коли рівно дві вершини мають непарний степінь; тоді шлях іде від однієї непарної вершини до другої. Гамільтонів цикл відвідує кожну вершину один раз; у K_n їх (n − 1)!/2. Дерево на n вершинах має n − 1 ребро, а зв’язний граф з m ребрами зберігає остовне дерево після вилучення m − n + 1 ребер.

Порахуйте

H = (8 − 1)!/2 = 5040/2 = 2520

Відповідь

H = 2520

6.Теорія графів

Відповідь: d(F) = 7

Найкоротші шляхи та остовні дерева: алгоритм Дейкстри фіксує одну вершину за раунд: незафіксовану вершину з найменшою попередньою відстанню. Її відстань тоді остаточна, а кожен сусід v отримує d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Алгоритм Крускала будує мінімальне остовне дерево, беручи ребра від легких до важких і пропускаючи кожне ребро, що замкнуло б цикл; алгоритм Пріма нарощує одне дерево від початкової вершини, завжди додаючи найлегше ребро, що виходить з нього. Остовне дерево з n вершин має n − 1 ребро.

Алгоритм Дейкстри раунд за раундом

Кожен рядок: зафіксована вершина, її остаточна відстань і сусіди, чия відстань покращується.

A (0): B: 3

B (3): C: 11, D: 13, E: 5

E (5): F: 7

F (7)

C (11)

D (13)

Найкоротший шлях

A → B → E → F

d(F) = 7

Відповідь

d(F) = 7

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms