Алгоритми та структури даних: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 6 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачіНазад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Теорія графів

Лема про рукостискання
Σ deg(v) = 2|E|
Повні графи
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Регулярний граф
|E| = n·k/2
Дерево і ліс
|E| = n − 1, |E| = n − c
Листки дерева
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Ейлер
цикл: усі степені парні; шлях: рівно 2 непарні степені
Гамільтонові цикли в Kn
(n − 1)!/2
Оновлення в алгоритмі Дейкстри
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Маршрути довжиною L
(Mᴸ)ij

Метод

  1. Випишіть степінь кожної вершини; сума степенів дорівнює подвоєній кількості ребер.
  2. У задачах про Ейлера перевірте, що граф зв’язний, і порахуйте вершини з непарним степенем.
  3. Для дерев використовуйте n − 1 ребро та лему про рукостискання.
  4. Для алгоритму Дейкстри ведіть таблицю попередніх відстаней і щоразу фіксуйте незафіксовану вершину з найменшою відстанню.
  5. Для мінімального остовного дерева відсортуйте ребра за вагою й пропускайте кожне ребро, що замикає цикл (Крускал), або нарощуйте одне дерево від початкової вершини (Прім).

2Задачі для практики

1.Алгоритми та складністьСередня

Ви один раз сортуєте масив із n елементів, а потім відповідаєте на k запитів про належність бінарним пошуком. Яка загальна вартість?

  1. AO(n + k)
  2. BO(nk)
  3. CO(k n log n)
  4. DO(n log n + k log n)
2.Алгоритми та складністьСкладна

Чому бінарний пошук не дає часу O(log n) на однозв'язному списку?

  1. AЗв'язні списки неможливо сортувати
  2. BБінарному пошуку потрібно щонайменше вдвічі більше пам'яті
  3. CПорівняння вузлів зв'язного списку повільніші
  4. DЩоб дістатися середнього елемента, потрібно O(n) кроків, бо немає прямого доступу за індексом
3.Структури данихСередня

Бінарне дерево має корінь 1 з лівою дитиною 2 і правою дитиною 3; вузол 2 має дітей 4 (ліва) і 5 (права). Який прямий обхід (preorder)?

  1. A4 5 2 3 1
  2. B1 2 3 4 5
  3. C4 2 5 1 3
  4. D1 2 4 5 3
4.Структури данихСкладна

Потрібно зберігати k найменших значень із потоку n чисел, використовуючи O(k) пам'яті. Який підхід працює за час O(n log k)?

  1. AВідсортований масив усіх n значень
  2. BМін-купа, що містить усі n значень, з якої наприкінці вилучають k найменших
  3. CМакс-купа розміру k, корінь якої замінюють, коли надходить менше значення
  4. DЧерга FIFO з останніх k значень
5.Теорія графівСередня
ABCDEFGЕйлерів циклЕйлерів шлях, не циклжодна з цих

Чи має зв’язний граф ейлерів цикл, ейлерів шлях, що не є циклом, чи нічого з цього? Клікніть свою відповідь.

|V| = 7|E| = 8
  1. 1Ейлерів цикл
  2. 2Ейлерів шлях, не цикл
  3. 3жодна з цих
6.Теорія графівСкладна
119151981218ABCDE

Алгоритм Крускала будує мінімальне остовне дерево. Клікніть ребро, яке він додає як ребро номер 3; пропущені ребра не враховуються.

k = 3
  1. 1ребро AB
  2. 2ребро AC
  3. 3ребро BC
  4. 4ребро BD
  5. 5ребро CE
  6. 6ребро DE
  7. 7ребро BE

3Розчини

1.Алгоритми та складність

Відповідь: D · O(n log n + k log n)

Чому це відповідь

Сортування коштує O(n log n), а кожен запит — O(log n); за великого k це краще, ніж k лінійних переглядів (O(nk)).

Відповідь

D · O(n log n + k log n)
2.Алгоритми та складність

Відповідь: D · Щоб дістатися середнього елемента, потрібно O(n) кроків, бо немає прямого доступу за індексом

Чому це відповідь

Бінарний пошук потребує доступу до середини за O(1); у зв'язному списку прохід туди коштує лінійного часу, тож загалом виходить O(n).

Відповідь

D · Щоб дістатися середнього елемента, потрібно O(n) кроків, бо немає прямого доступу за індексом
3.Структури даних

Відповідь: D · 1 2 4 5 3

Чому це відповідь

Прямий обхід відвідує 1, потім його ліве піддерево (2, 4, 5), потім 3; інші варіанти — симетричний, зворотний обхід і обхід по рівнях.

Відповідь

D · 1 2 4 5 3
4.Структури даних

Відповідь: C · Макс-купа розміру k, корінь якої замінюють, коли надходить менше значення

Чому це відповідь

Корінь макс-купи — найбільше збережене значення; будь-яке менше нове значення замінює його за O(log k), тож купа завжди містить k найменших значень на цей момент.

Відповідь

C · Макс-купа розміру k, корінь якої замінюють, коли надходить менше значення
5.Теорія графів

Відповідь: Ейлерів цикл

Ейлер, Гамільтон і дерева: зв’язний граф має ейлерів цикл (кожне ребро один раз, з поверненням до початку), коли кожна вершина має парний степінь, і ейлерів шлях, що не є циклом, коли рівно дві вершини мають непарний степінь; тоді шлях іде від однієї непарної вершини до другої. Гамільтонів цикл відвідує кожну вершину один раз; у Kn їх (n − 1)!/2. Дерево на n вершинах має n − 1 ребро, а зв’язний граф з m ребрами зберігає остовне дерево після вилучення m − n + 1 ребер.

Степені

deg(A) = 2, deg(B) = 2, deg(C) = 2, deg(D) = 4, deg(E) = 2, deg(F) = 2, deg(G) = 2

Непарні вершини

0
Ейлерів цикл

Відповідь

Ейлерів цикл
6.Теорія графів

Відповідь: ребро AB

Найкоротші шляхи та остовні дерева: алгоритм Дейкстри фіксує одну вершину за раунд: незафіксовану вершину з найменшою попередньою відстанню. Її відстань тоді остаточна, а кожен сусід v отримує d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Алгоритм Крускала будує мінімальне остовне дерево, беручи ребра від легких до важких і пропускаючи кожне ребро, що замкнуло б цикл; алгоритм Пріма нарощує одне дерево від початкової вершини, завжди додаючи найлегше ребро, що виходить з нього. Остовне дерево з n вершин має n − 1 ребро.

Алгоритм Крускала

1. CE (8)
2. AC (9)
3. AB (11)
4. DE (12)

номер ребра 3

AB

Відповідь

ребро AB

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms