Алгоритми та структури даних: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 6 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачіНазад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Теорія графів

Лема про рукостискання
Σ deg(v) = 2|E|
Повні графи
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Регулярний граф
|E| = n·k/2
Дерево і ліс
|E| = n − 1, |E| = n − c
Листки дерева
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Ейлер
цикл: усі степені парні; шлях: рівно 2 непарні степені
Гамільтонові цикли в Kn
(n − 1)!/2
Оновлення в алгоритмі Дейкстри
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Маршрути довжиною L
(Mᴸ)ij

Метод

  1. Випишіть степінь кожної вершини; сума степенів дорівнює подвоєній кількості ребер.
  2. У задачах про Ейлера перевірте, що граф зв’язний, і порахуйте вершини з непарним степенем.
  3. Для дерев використовуйте n − 1 ребро та лему про рукостискання.
  4. Для алгоритму Дейкстри ведіть таблицю попередніх відстаней і щоразу фіксуйте незафіксовану вершину з найменшою відстанню.
  5. Для мінімального остовного дерева відсортуйте ребра за вагою й пропускайте кожне ребро, що замикає цикл (Крускал), або нарощуйте одне дерево від початкової вершини (Прім).

2Задачі для практики

1.Алгоритми та складністьСередня

Часова складність наївного рекурсивного обчислення чисел Фібоначчі (fib(n) = fib(n−1) + fib(n−2)) є:

  1. AСталою
  2. BЛогарифмічною
  3. CЛінійною
  4. DЕкспоненційною
2.Алгоритми та складністьСкладна

Який прийом забезпечує очікуваний час роботи O(n log n) для швидкого сортування на будь-яких вхідних даних?

  1. AВибір завжди першого елемента
  2. BЗастосування рекурсії лише до лівої частини
  3. CСортування вхідних даних перед запуском швидкого сортування
  4. DВибір опорного елемента випадково з рівномірним розподілом
3.Структури данихСередня

Вузол бінарного дерева пошуку має праве піддерево. Де розташований його наступник у симетричному порядку (in-order successor)?

  1. AЗавжди його права дитина
  2. BЗавжди його батько
  3. CКрайній лівий вузол його правого піддерева
  4. DКрайній правий вузол його лівого піддерева
4.Структури данихСкладна

Фільтр Блума може відповісти на запитання «чи належить цей елемент множині?»:

  1. AЛише для чисел
  2. BЗ можливими хибнонегативними, але без хибнопозитивних результатів
  3. CЗавжди точно
  4. DЗ можливими хибнопозитивними, але без хибнонегативних результатів
5.Теорія графівСередня
ABCDEFGЕйлерів циклЕйлерів шлях, не циклжодна з цих

Чи має зв’язний граф ейлерів цикл, ейлерів шлях, що не є циклом, чи нічого з цього? Клікніть свою відповідь.

|V| = 7|E| = 10
  1. 1Ейлерів цикл
  2. 2Ейлерів шлях, не цикл
  3. 3жодна з цих
6.Теорія графівСкладна
1712518111916ABCDE

Знайдіть загальну вагу W мінімального остовного дерева зваженого графа.

|V| = 5|E| = 7
W =

3Розчини

1.Алгоритми та складність

Відповідь: D · Експоненційною

Чому це відповідь

Дерево викликів зростає приблизно як φⁿ (близько 1,618ⁿ). Мемоізація зменшує складність до O(n).

Відповідь

D · Експоненційною
2.Алгоритми та складність

Відповідь: D · Вибір опорного елемента випадково з рівномірним розподілом

Чому це відповідь

З випадковим опорним елементом очікуваний час роботи становить O(n log n) для будь-яких вхідних даних; погані випадки все ще можливі, але дуже малоймовірні.

Відповідь

D · Вибір опорного елемента випадково з рівномірним розподілом
3.Структури даних

Відповідь: C · Крайній лівий вузол його правого піддерева

Чому це відповідь

Усі більші ключі, близькі до вузла, розташовані в його правому піддереві, а найменший із них — це крайній лівий вузол там.

Відповідь

C · Крайній лівий вузол його правого піддерева
4.Структури даних

Відповідь: D · З можливими хибнопозитивними, але без хибнонегативних результатів

Чому це відповідь

Якщо будь-який біт для елемента дорівнює 0, елемента точно немає; якщо всі дорівнюють 1, він, імовірно, є. Фільтри Блума жертвують точністю заради дуже малого обсягу пам'яті.

Відповідь

D · З можливими хибнопозитивними, але без хибнонегативних результатів
5.Теорія графів

Відповідь: Ейлерів шлях, не цикл

Ейлер, Гамільтон і дерева: зв’язний граф має ейлерів цикл (кожне ребро один раз, з поверненням до початку), коли кожна вершина має парний степінь, і ейлерів шлях, що не є циклом, коли рівно дві вершини мають непарний степінь; тоді шлях іде від однієї непарної вершини до другої. Гамільтонів цикл відвідує кожну вершину один раз; у Kn їх (n − 1)!/2. Дерево на n вершинах має n − 1 ребро, а зв’язний граф з m ребрами зберігає остовне дерево після вилучення m − n + 1 ребер.

Степені

deg(A) = 2, deg(B) = 4, deg(C) = 3, deg(D) = 4, deg(E) = 2, deg(F) = 2, deg(G) = 3

Непарні вершини

C, G → 2
Ейлерів шлях, не цикл

Відповідь

Ейлерів шлях, не цикл

Ейлерів шлях починається в одній непарній вершині й закінчується в другій.

6.Теорія графів

Відповідь: W = 46

Найкоротші шляхи та остовні дерева: алгоритм Дейкстри фіксує одну вершину за раунд: незафіксовану вершину з найменшою попередньою відстанню. Її відстань тоді остаточна, а кожен сусід v отримує d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Алгоритм Крускала будує мінімальне остовне дерево, беручи ребра від легких до важких і пропускаючи кожне ребро, що замкнуло б цикл; алгоритм Пріма нарощує одне дерево від початкової вершини, завжди додаючи найлегше ребро, що виходить з нього. Остовне дерево з n вершин має n − 1 ребро.

Алгоритм Крускала

BC (5): взяти
CE (11): взяти
AC (12): взяти
BE (16): пропустити, замикає цикл
AB (17): пропустити, замикає цикл
BD (18): взяти

Загальна вага

W = 5 + 11 + 12 + 18 = 46

Відповідь

W = 46

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms