Алгоритми та структури даних: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 6 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачіНазад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Теорія графів

Лема про рукостискання
Σ deg(v) = 2|E|
Повні графи
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Регулярний граф
|E| = n·k/2
Дерево і ліс
|E| = n − 1, |E| = n − c
Листки дерева
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Ейлер
цикл: усі степені парні; шлях: рівно 2 непарні степені
Гамільтонові цикли в Kn
(n − 1)!/2
Оновлення в алгоритмі Дейкстри
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Маршрути довжиною L
(Mᴸ)ij

Метод

  1. Випишіть степінь кожної вершини; сума степенів дорівнює подвоєній кількості ребер.
  2. У задачах про Ейлера перевірте, що граф зв’язний, і порахуйте вершини з непарним степенем.
  3. Для дерев використовуйте n − 1 ребро та лему про рукостискання.
  4. Для алгоритму Дейкстри ведіть таблицю попередніх відстаней і щоразу фіксуйте незафіксовану вершину з найменшою відстанню.
  5. Для мінімального остовного дерева відсортуйте ребра за вагою й пропускайте кожне ребро, що замикає цикл (Крускал), або нарощуйте одне дерево від початкової вершини (Прім).

2Задачі для практики

1.Алгоритми та складністьСередня

Чи правильно казати, що алгоритм O(n²) є також O(n³)?

  1. AТак, але лише якщо n менше за 100
  2. BТак, бо «велике O» — верхня межа, а n² зростає не швидше, ніж n³
  3. CНі, бо «велике O» завжди має вказувати точну швидкість зростання функції
  4. DНі, бо для великих n n³ менше за n²
2.Алгоритми та складністьСкладна

Що встановила теорема Кука–Левіна?

  1. AP не дорівнює NP
  2. BЗадача виконуваності булевих формул (SAT) є NP-повною
  3. CКожну задачу з NP можна розв'язати за експоненційний час
  4. DПроблема зупинки нерозв'язна
3.Структури данихСередня

Ви маєте посилання на вузол у середині списку. У якому списку його можна видалити за O(1)?

  1. AУ відсортованому масиві
  2. BУ динамічному масиві
  3. CУ двозв'язному списку
  4. DВ однозв'язному списку
4.Структури данихСкладна

У циклічному буфері front == rear може означати як порожній, так і заповнений буфер. Який поширений спосіб їх розрізнити?

  1. AЗавжди очищати буфер щоразу, коли front дорівнює rear, тож стан — порожній
  2. BЗберігати окремий лічильник елементів або завжди залишати одну комірку невикористаною
  3. CЗберігати front і rear в одній змінній
  4. DРобити розмір буфера степенем двійки
5.Теорія графівСередня

Дерево має 4 вершин степеня 5, 4 вершин степеня 2, а всі його інші вершини — листки (степінь 1). Скільки листків L воно має?

4 × deg 54 × deg 2
L =
6.Теорія графівСкладна
92191013128186ABCDEFG

Алгоритм Крускала будує мінімальне остовне дерево. Клікніть ребро, яке він додає як ребро номер 6; пропущені ребра не враховуються.

k = 6
  1. 1ребро AB
  2. 2ребро AC
  3. 3ребро BD
  4. 4ребро CE
  5. 5ребро DF
  6. 6ребро EF
  7. 7ребро GB
  8. 8ребро GC
  9. 9ребро GD

3Розчини

1.Алгоритми та складність

Відповідь: B · Так, бо «велике O» — верхня межа, а n² зростає не швидше, ніж n³

Чому це відповідь

«Велике O» — верхня межа, тож твердження правильне, але не точне; Θ(n²) задає точну швидкість зростання.

Відповідь

B · Так, бо «велике O» — верхня межа, а n² зростає не швидше, ніж n³
2.Алгоритми та складність

Відповідь: B · Задача виконуваності булевих формул (SAT) є NP-повною

Чому це відповідь

Кук і Левін незалежно показали, що кожна задача з NP зводиться до SAT за поліноміальний час, тож SAT стала першою відомою NP-повною задачею.

Відповідь

B · Задача виконуваності булевих формул (SAT) є NP-повною
3.Структури даних

Відповідь: C · У двозв'язному списку

Чому це відповідь

Вузол двозв'язного списку знає свого попередника, тож можна безпосередньо перев'язати prev і next; в однозв'язному списку попередника доводиться шукати.

Відповідь

C · У двозв'язному списку
4.Структури даних

Відповідь: B · Зберігати окремий лічильник елементів або завжди залишати одну комірку невикористаною

Чому це відповідь

З лічильником порожній буфер означає count = 0, а заповнений — count = capacity; з однією порожньою коміркою заповненість визначають як (rear + 1) mod n == front.

Відповідь

B · Зберігати окремий лічильник елементів або завжди залишати одну комірку невикористаною
5.Теорія графів

Відповідь: L = 14

Ейлер, Гамільтон і дерева: зв’язний граф має ейлерів цикл (кожне ребро один раз, з поверненням до початку), коли кожна вершина має парний степінь, і ейлерів шлях, що не є циклом, коли рівно дві вершини мають непарний степінь; тоді шлях іде від однієї непарної вершини до другої. Гамільтонів цикл відвідує кожну вершину один раз; у Kn їх (n − 1)!/2. Дерево на n вершинах має n − 1 ребро, а зв’язний граф з m ребрами зберігає остовне дерево після вилучення m − n + 1 ребер.

Лема про рукостискання для дерева

L + 28 = 2(L + 8) − 2
L = 14

Відповідь

L = 14

Скорочення: L = 2 + Σ (d − 2) за вершинами зі степенем d ≥ 3.

6.Теорія графів

Відповідь: ребро EF

Найкоротші шляхи та остовні дерева: алгоритм Дейкстри фіксує одну вершину за раунд: незафіксовану вершину з найменшою попередньою відстанню. Її відстань тоді остаточна, а кожен сусід v отримує d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Алгоритм Крускала будує мінімальне остовне дерево, беручи ребра від легких до важких і пропускаючи кожне ребро, що замкнуло б цикл; алгоритм Пріма нарощує одне дерево від початкової вершини, завжди додаючи найлегше ребро, що виходить з нього. Остовне дерево з n вершин має n − 1 ребро.

Алгоритм Крускала

1. AC (2)
2. GD (6)
3. GB (8)
4. AB (9)
5. CE (10)
6. EF (12)

номер ребра 6

EF

Відповідь

ребро EF

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms