Алгоритми та структури даних: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 6 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачіНазад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Теорія графів

Лема про рукостискання
Σ deg(v) = 2|E|
Повні графи
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Регулярний граф
|E| = n·k/2
Дерево і ліс
|E| = n − 1, |E| = n − c
Листки дерева
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Ейлер
цикл: усі степені парні; шлях: рівно 2 непарні степені
Гамільтонові цикли в Kn
(n − 1)!/2
Оновлення в алгоритмі Дейкстри
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Маршрути довжиною L
(Mᴸ)ij

Метод

  1. Випишіть степінь кожної вершини; сума степенів дорівнює подвоєній кількості ребер.
  2. У задачах про Ейлера перевірте, що граф зв’язний, і порахуйте вершини з непарним степенем.
  3. Для дерев використовуйте n − 1 ребро та лему про рукостискання.
  4. Для алгоритму Дейкстри ведіть таблицю попередніх відстаней і щоразу фіксуйте незафіксовану вершину з найменшою відстанню.
  5. Для мінімального остовного дерева відсортуйте ребра за вагою й пропускайте кожне ребро, що замикає цикл (Крускал), або нарощуйте одне дерево від початкової вершини (Прім).

2Задачі для практики

1.Алгоритми та складністьСередня

Яка часова складність множення двох матриць n × n стандартним потрійним циклом?

  1. AO(n²)
  2. BO(n³)
  3. CO(n² log n)
  4. DO(n)
2.Алгоритми та складністьСкладна

Сортування вставками працює за O(n) на відсортованих даних. Чи суперечить це нижній межі Ω(n log n) для сортування порівняннями?

  1. AНі, бо сортування вставками не є сортуванням порівняннями
  2. BНі, нижня межа стосується найгіршого випадку серед усіх вхідних даних, а не кожних вхідних даних
  3. CТак, але лише для масивів, коротших за 100
  4. DТак, отже, нижня межа хибна
3.Структури данихСередня

Чому бінарну купу можна зберігати в масиві без жодних вказівників?

  1. AМасиви автоматично зберігають ключі відсортованими, тож вказівники не потрібні
  2. BКупи ніколи не містять понад 100 елементів
  3. CЦе повне бінарне дерево, тож позиції визначаються простими формулами індексів
  4. DУсі ключі в купі однакові
4.Структури данихСкладна

Яка основна перевага списку з пропусками (skip list) над відсортованим зв'язним списком?

  1. AГарантований пошук за O(1), бо кожен вузол зберігає вказівник на кожен інший вузол
  2. BВін не використовує додаткової пам'яті
  3. CОчікуваний пошук за O(log n) завдяки кільком рівням вказівників уперед
  4. DВін зберігає ключі без упорядкування
5.Теорія графівСередня
ABCDEЕйлерів циклЕйлерів шлях, не циклжодна з цих

Чи має зв’язний граф ейлерів цикл, ейлерів шлях, що не є циклом, чи нічого з цього? Клікніть свою відповідь.

|V| = 5|E| = 5
  1. 1Ейлерів цикл
  2. 2Ейлерів шлях, не цикл
  3. 3жодна з цих
6.Теорія графівСкладна
91336118111413ABCDEFG

Алгоритм Дейкстри працює від A. Клікніть вершину, яку фіксують (роблять остаточною) у раунді 5; сама A — це раунд 1.

початок: Aраунд 5
  1. 1A
  2. 2B
  3. 3C
  4. 4D
  5. 5E
  6. 6F
  7. 7G

3Розчини

1.Алгоритми та складність

Відповідь: B · O(n³)

Чому це відповідь

Є n² елементів, і кожному потрібно n множень, що дає n³ операцій.

Відповідь

B · O(n³)
2.Алгоритми та складність

Відповідь: B · Ні, нижня межа стосується найгіршого випадку серед усіх вхідних даних, а не кожних вхідних даних

Чому це відповідь

Межа стверджує, що кожне сортування порівняннями потребує близько n log n порівнянь на якихось вхідних даних розміру n; особливі вхідні дані можуть оброблятися значно швидше.

Відповідь

B · Ні, нижня межа стосується найгіршого випадку серед усіх вхідних даних, а не кожних вхідних даних
3.Структури даних

Відповідь: C · Це повне бінарне дерево, тож позиції визначаються простими формулами індексів

Чому це відповідь

Повнота означає відсутність прогалин, тож діти індексу i завжди розташовані в 2i + 1 і 2i + 2.

Відповідь

C · Це повне бінарне дерево, тож позиції визначаються простими формулами індексів
4.Структури даних

Відповідь: C · Очікуваний пошук за O(log n) завдяки кільком рівням вказівників уперед

Чому це відповідь

Випадкові рівні дозволяють пошуку пропускати багато вузлів, що дає очікувану складність O(log n) для пошуку, вставлення та видалення.

Відповідь

C · Очікуваний пошук за O(log n) завдяки кільком рівням вказівників уперед
5.Теорія графів

Відповідь: Ейлерів шлях, не цикл

Ейлер, Гамільтон і дерева: зв’язний граф має ейлерів цикл (кожне ребро один раз, з поверненням до початку), коли кожна вершина має парний степінь, і ейлерів шлях, що не є циклом, коли рівно дві вершини мають непарний степінь; тоді шлях іде від однієї непарної вершини до другої. Гамільтонів цикл відвідує кожну вершину один раз; у Kn їх (n − 1)!/2. Дерево на n вершинах має n − 1 ребро, а зв’язний граф з m ребрами зберігає остовне дерево після вилучення m − n + 1 ребер.

Степені

deg(A) = 1, deg(B) = 3, deg(C) = 2, deg(D) = 2, deg(E) = 2

Непарні вершини

A, B → 2
Ейлерів шлях, не цикл

Відповідь

Ейлерів шлях, не цикл

Ейлерів шлях починається в одній непарній вершині й закінчується в другій.

6.Теорія графів

Відповідь: B

Найкоротші шляхи та остовні дерева: алгоритм Дейкстри фіксує одну вершину за раунд: незафіксовану вершину з найменшою попередньою відстанню. Її відстань тоді остаточна, а кожен сусід v отримує d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Алгоритм Крускала будує мінімальне остовне дерево, беручи ребра від легких до важких і пропускаючи кожне ребро, що замкнуло б цикл; алгоритм Пріма нарощує одне дерево від початкової вершини, завжди додаючи найлегше ребро, що виходить з нього. Остовне дерево з n вершин має n − 1 ребро.

Алгоритм Дейкстри раунд за раундом

1. A (0): C: 9
2. C (9): B: 22, E: 15, G: 20
3. E (15): F: 26
4. G (20): D: 34
5. B (22): D: 25
6. D (25)
7. F (26)

раунд 5

B

Відповідь

B

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms