Алгоритми та структури даних: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 6 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачіНазад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Теорія графів

Лема про рукостискання
Σ deg(v) = 2|E|
Повні графи
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Регулярний граф
|E| = n·k/2
Дерево і ліс
|E| = n − 1, |E| = n − c
Листки дерева
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Ейлер
цикл: усі степені парні; шлях: рівно 2 непарні степені
Гамільтонові цикли в Kn
(n − 1)!/2
Оновлення в алгоритмі Дейкстри
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Маршрути довжиною L
(Mᴸ)ij

Метод

  1. Випишіть степінь кожної вершини; сума степенів дорівнює подвоєній кількості ребер.
  2. У задачах про Ейлера перевірте, що граф зв’язний, і порахуйте вершини з непарним степенем.
  3. Для дерев використовуйте n − 1 ребро та лему про рукостискання.
  4. Для алгоритму Дейкстри ведіть таблицю попередніх відстаней і щоразу фіксуйте незафіксовану вершину з найменшою відстанню.
  5. Для мінімального остовного дерева відсортуйте ребра за вагою й пропускайте кожне ребро, що замикає цикл (Крускал), або нарощуйте одне дерево від початкової вершини (Прім).

2Задачі для практики

1.Алгоритми та складністьСередня

Чому основу логарифма в «великому O» зазвичай не вказують, як-от в O(log n)?

  1. AЛогарифми з різними основами відрізняються лише сталим множником
  2. BЛогарифми завжди округлюють до цілих
  3. CУсі логарифми в інформатиці мають основу 10, тож вона мається на увазі
  4. DОснова має значення лише для малих n
2.Алгоритми та складністьСкладна

Яка часова складність: for i = 1 to n: for (j = i; j ≤ n; j = j + i) виконати роботу O(1)?

  1. AO(n²)
  2. BO(n)
  3. CO(n log n)
  4. DO(n √n)
3.Структури данихСередня

AVL-дерева та червоно-чорні дерева гарантують:

  1. AВисоту O(log n) завдяки перебалансуванню
  2. BЗберігання ключів у порядку вставлення
  3. CПошук за сталий час у будь-якому випадку
  4. DЩо жоден вузол не має двох дітей
4.Структури данихСкладна

Скільки триває пошук довільного ключа в бінарній мін-купі з n елементів?

  1. AO(log n)
  2. BO(log log n)
  3. CO(n)
  4. DO(1)
5.Теорія графівСередня
ABCDEFGЕйлерів циклЕйлерів шлях, не циклжодна з цих

Чи має зв’язний граф ейлерів цикл, ейлерів шлях, що не є циклом, чи нічого з цього? Клікніть свою відповідь.

|V| = 7|E| = 10
  1. 1Ейлерів цикл
  2. 2Ейлерів шлях, не цикл
  3. 3жодна з цих
6.Теорія графівСкладна
2051794213ABCDE

Алгоритм Крускала будує мінімальне остовне дерево. Клікніть ребро, яке він додає як ребро номер 2; пропущені ребра не враховуються.

k = 2
  1. 1ребро AB
  2. 2ребро AC
  3. 3ребро BC
  4. 4ребро BD
  5. 5ребро CE
  6. 6ребро DE
  7. 7ребро BE

3Розчини

1.Алгоритми та складність

Відповідь: A · Логарифми з різними основами відрізняються лише сталим множником

Чому це відповідь

Зміна основи множить логарифм на сталу, а «велике O» ігнорує сталі множники.

Відповідь

A · Логарифми з різними основами відрізняються лише сталим множником
2.Алгоритми та складність

Відповідь: C · O(n log n)

Чому це відповідь

Загалом n / 1 + n / 2 + ... + n / n = n × Hn, а гармонічне число Hn є Θ(log n).

Відповідь

C · O(n log n)
3.Структури даних

Відповідь: A · Висоту O(log n) завдяки перебалансуванню

Чому це відповідь

Самобалансовані дерева зберігають логарифмічну висоту, тому пошук, вставлення та видалення в найгіршому випадку мають складність O(log n).

Відповідь

A · Висоту O(log n) завдяки перебалансуванню
4.Структури даних

Відповідь: C · O(n)

Чому це відповідь

Купа не дає правила, яке піддерево містить ключ, тож у найгіршому випадку треба перевірити всі вузли; швидко знаходиться лише мінімум.

Відповідь

C · O(n)
5.Теорія графів

Відповідь: жодна з цих

Ейлер, Гамільтон і дерева: зв’язний граф має ейлерів цикл (кожне ребро один раз, з поверненням до початку), коли кожна вершина має парний степінь, і ейлерів шлях, що не є циклом, коли рівно дві вершини мають непарний степінь; тоді шлях іде від однієї непарної вершини до другої. Гамільтонів цикл відвідує кожну вершину один раз; у Kn їх (n − 1)!/2. Дерево на n вершинах має n − 1 ребро, а зв’язний граф з m ребрами зберігає остовне дерево після вилучення m − n + 1 ребер.

Степені

deg(A) = 2, deg(B) = 4, deg(C) = 4, deg(D) = 3, deg(E) = 3, deg(F) = 1, deg(G) = 3

Непарні вершини

D, E, F, G → 4
жодна з цих

Відповідь

жодна з цих
6.Теорія графів

Відповідь: ребро CE

Найкоротші шляхи та остовні дерева: алгоритм Дейкстри фіксує одну вершину за раунд: незафіксовану вершину з найменшою попередньою відстанню. Її відстань тоді остаточна, а кожен сусід v отримує d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Алгоритм Крускала будує мінімальне остовне дерево, беручи ребра від легких до важких і пропускаючи кожне ребро, що замкнуло б цикл; алгоритм Пріма нарощує одне дерево від початкової вершини, завжди додаючи найлегше ребро, що виходить з нього. Остовне дерево з n вершин має n − 1 ребро.

Алгоритм Крускала

1. DE (2)
2. CE (4)
3. AC (5)
4. BD (9)

номер ребра 2

CE

Відповідь

ребро CE

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms