Алгоритми та структури даних: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 6 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачіНазад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Теорія графів

Лема про рукостискання
Σ deg(v) = 2|E|
Повні графи
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Регулярний граф
|E| = n·k/2
Дерево і ліс
|E| = n − 1, |E| = n − c
Листки дерева
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Ейлер
цикл: усі степені парні; шлях: рівно 2 непарні степені
Гамільтонові цикли в Kn
(n − 1)!/2
Оновлення в алгоритмі Дейкстри
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Маршрути довжиною L
(Mᴸ)ij

Метод

  1. Випишіть степінь кожної вершини; сума степенів дорівнює подвоєній кількості ребер.
  2. У задачах про Ейлера перевірте, що граф зв’язний, і порахуйте вершини з непарним степенем.
  3. Для дерев використовуйте n − 1 ребро та лему про рукостискання.
  4. Для алгоритму Дейкстри ведіть таблицю попередніх відстаней і щоразу фіксуйте незафіксовану вершину з найменшою відстанню.
  5. Для мінімального остовного дерева відсортуйте ребра за вагою й пропускайте кожне ребро, що замикає цикл (Крускал), або нарощуйте одне дерево від початкової вершини (Прім).

2Задачі для практики

1.Алгоритми та складністьСередня

Який розв'язок рекурентного співвідношення T(n) = T(n/2) + O(1)?

  1. AO(n log n)
  2. BO(1)
  3. CO(n)
  4. DO(log n)
2.Алгоритми та складністьСкладна

Що встановила теорема Кука–Левіна?

  1. AЗадача виконуваності булевих формул (SAT) є NP-повною
  2. BПроблема зупинки нерозв'язна
  3. CP не дорівнює NP
  4. DКожну задачу з NP можна розв'язати за експоненційний час
3.Структури данихСередня

Що правильно щодо матриці суміжності неорієнтованого графа?

  1. AВона завжди верхньотрикутна
  2. BВона симетрична відносно головної діагоналі
  3. CКожен рядок містить рівно одну 1
  4. DЇї головна діагональ завжди містить одиниці
4.Структури данихСкладна

Фільтр Блума може відповісти на запитання «чи належить цей елемент множині?»:

  1. AЗ можливими хибнонегативними, але без хибнопозитивних результатів
  2. BЗавжди точно
  3. CЛише для чисел
  4. DЗ можливими хибнопозитивними, але без хибнонегативних результатів
5.Теорія графівСередня

Дерево має 2 вершин степеня 3, 3 вершин степеня 4, 4 вершин степеня 5, а всі його інші вершини — листки (степінь 1). Скільки листків L воно має?

2 × deg 33 × deg 44 × deg 5
L =
6.Теорія графівСкладна
915151345115ABCDEF

Скористайтеся алгоритмом Дейкстри, щоб знайти довжину d(F) найкоротшого шляху від A до F у зваженому графі.

початок: Aкінець: F
d(F) =

3Розчини

1.Алгоритми та складність

Відповідь: D · O(log n)

Чому це відповідь

Задача на кожному кроці зменшується вдвічі зі сталою роботою на крок, тож кроків приблизно log₂ n.

Відповідь

D · O(log n)
2.Алгоритми та складність

Відповідь: A · Задача виконуваності булевих формул (SAT) є NP-повною

Чому це відповідь

Кук і Левін незалежно показали, що кожна задача з NP зводиться до SAT за поліноміальний час, тож SAT стала першою відомою NP-повною задачею.

Відповідь

A · Задача виконуваності булевих формул (SAT) є NP-повною
3.Структури даних

Відповідь: B · Вона симетрична відносно головної діагоналі

Чому це відповідь

У неорієнтованому графі ребро {u, v} означає, що встановлено і M[u][v], і M[v][u], тож матриця дорівнює своїй транспонованій.

Відповідь

B · Вона симетрична відносно головної діагоналі
4.Структури даних

Відповідь: D · З можливими хибнопозитивними, але без хибнонегативних результатів

Чому це відповідь

Якщо будь-який біт для елемента дорівнює 0, елемента точно немає; якщо всі дорівнюють 1, він, імовірно, є. Фільтри Блума жертвують точністю заради дуже малого обсягу пам'яті.

Відповідь

D · З можливими хибнопозитивними, але без хибнонегативних результатів
5.Теорія графів

Відповідь: L = 22

Ейлер, Гамільтон і дерева: зв’язний граф має ейлерів цикл (кожне ребро один раз, з поверненням до початку), коли кожна вершина має парний степінь, і ейлерів шлях, що не є циклом, коли рівно дві вершини мають непарний степінь; тоді шлях іде від однієї непарної вершини до другої. Гамільтонів цикл відвідує кожну вершину один раз; у Kn їх (n − 1)!/2. Дерево на n вершинах має n − 1 ребро, а зв’язний граф з m ребрами зберігає остовне дерево після вилучення m − n + 1 ребер.

Лема про рукостискання для дерева

L + 38 = 2(L + 9) − 2
L = 22

Відповідь

L = 22

Скорочення: L = 2 + Σ (d − 2) за вершинами зі степенем d ≥ 3.

6.Теорія графів

Відповідь: d(F) = 20

Найкоротші шляхи та остовні дерева: алгоритм Дейкстри фіксує одну вершину за раунд: незафіксовану вершину з найменшою попередньою відстанню. Її відстань тоді остаточна, а кожен сусід v отримує d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Алгоритм Крускала будує мінімальне остовне дерево, беручи ребра від легких до важких і пропускаючи кожне ребро, що замкнуло б цикл; алгоритм Пріма нарощує одне дерево від початкової вершини, завжди додаючи найлегше ребро, що виходить з нього. Остовне дерево з n вершин має n − 1 ребро.

Алгоритм Дейкстри раунд за раундом

Кожен рядок: зафіксована вершина, її остаточна відстань і сусіди, чия відстань покращується.

A (0): B: 9, C: 15
B (9): D: 22, E: 24
C (15): E: 19
E (19): F: 20
F (20)
D (22)

Найкоротший шлях

A → C → E → F
d(F) = 20

Відповідь

d(F) = 20

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms