Алгоритми та структури даних: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 6 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачіНазад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Теорія графів

Лема про рукостискання
Σ deg(v) = 2|E|
Повні графи
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Регулярний граф
|E| = n·k/2
Дерево і ліс
|E| = n − 1, |E| = n − c
Листки дерева
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Ейлер
цикл: усі степені парні; шлях: рівно 2 непарні степені
Гамільтонові цикли в Kn
(n − 1)!/2
Оновлення в алгоритмі Дейкстри
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Маршрути довжиною L
(Mᴸ)ij

Метод

  1. Випишіть степінь кожної вершини; сума степенів дорівнює подвоєній кількості ребер.
  2. У задачах про Ейлера перевірте, що граф зв’язний, і порахуйте вершини з непарним степенем.
  3. Для дерев використовуйте n − 1 ребро та лему про рукостискання.
  4. Для алгоритму Дейкстри ведіть таблицю попередніх відстаней і щоразу фіксуйте незафіксовану вершину з найменшою відстанню.
  5. Для мінімального остовного дерева відсортуйте ребра за вагою й пропускайте кожне ребро, що замикає цикл (Крускал), або нарощуйте одне дерево від початкової вершини (Прім).

2Задачі для практики

1.Алгоритми та складністьСередня

Приблизно скільки порівнянь потребує бінарний пошук у найгіршому випадку на відсортованому масиві з 1,000,000 елементів?

  1. AБлизько 100
  2. BБлизько 500,000
  3. CБлизько 1,000
  4. DБлизько 20
2.Алгоритми та складністьСкладна

Який прийом забезпечує очікуваний час роботи O(n log n) для швидкого сортування на будь-яких вхідних даних?

  1. AЗастосування рекурсії лише до лівої частини
  2. BВибір завжди першого елемента
  3. CВибір опорного елемента випадково з рівномірним розподілом
  4. DСортування вхідних даних перед запуском швидкого сортування
3.Структури данихСередня

Вузол бінарного дерева пошуку має праве піддерево. Де розташований його наступник у симетричному порядку (in-order successor)?

  1. AЗавжди його права дитина
  2. BКрайній лівий вузол його правого піддерева
  3. CЗавжди його батько
  4. DКрайній правий вузол його лівого піддерева
4.Структури данихСкладна

Структура union-find (система неперетинних множин) з об'єднанням за рангом і стисненням шляху має амортизовану вартість операції:

  1. AO(n)
  2. BРівно O(log n)
  3. CO(α(n)), обернена функція Аккермана, практично стала
  4. DO(n²)
5.Теорія графівСередня

Зв’язний граф має 12 вершин і 14 ребер. Скільки ребер k треба вилучити, щоб залишилося остовне дерево?

|V| = 12|E| = 14
k =
6.Теорія графівСкладна
153515761512ABCDEF

Скористайтеся алгоритмом Дейкстри, щоб знайти довжину d(F) найкоротшого шляху від A до F у зваженому графі.

початок: Aкінець: F
d(F) =

3Розчини

1.Алгоритми та складність

Відповідь: D · Близько 20

Чому це відповідь

220 ≈ 1,048,576, тож приблизно після 20 ділень навпіл залишається лише один елемент.

Відповідь

D · Близько 20
2.Алгоритми та складність

Відповідь: C · Вибір опорного елемента випадково з рівномірним розподілом

Чому це відповідь

З випадковим опорним елементом очікуваний час роботи становить O(n log n) для будь-яких вхідних даних; погані випадки все ще можливі, але дуже малоймовірні.

Відповідь

C · Вибір опорного елемента випадково з рівномірним розподілом
3.Структури даних

Відповідь: B · Крайній лівий вузол його правого піддерева

Чому це відповідь

Усі більші ключі, близькі до вузла, розташовані в його правому піддереві, а найменший із них — це крайній лівий вузол там.

Відповідь

B · Крайній лівий вузол його правого піддерева
4.Структури даних

Відповідь: C · O(α(n)), обернена функція Аккермана, практично стала

Чому це відповідь

З обома оптимізаціями операції виконуються за амортизований час O(α(n)); α(n) ≤ 4 для будь-якого реалістичного n.

Відповідь

C · O(α(n)), обернена функція Аккермана, практично стала
5.Теорія графів

Відповідь: k = 3

Ейлер, Гамільтон і дерева: зв’язний граф має ейлерів цикл (кожне ребро один раз, з поверненням до початку), коли кожна вершина має парний степінь, і ейлерів шлях, що не є циклом, коли рівно дві вершини мають непарний степінь; тоді шлях іде від однієї непарної вершини до другої. Гамільтонів цикл відвідує кожну вершину один раз; у Kn їх (n − 1)!/2. Дерево на n вершинах має n − 1 ребро, а зв’язний граф з m ребрами зберігає остовне дерево після вилучення m − n + 1 ребер.

Ребра остовного дерева

12 − 1 = 11

Ребра для вилучення

k = 14 − 11 = 3

Відповідь

k = 3
6.Теорія графів

Відповідь: d(F) = 26

Найкоротші шляхи та остовні дерева: алгоритм Дейкстри фіксує одну вершину за раунд: незафіксовану вершину з найменшою попередньою відстанню. Її відстань тоді остаточна, а кожен сусід v отримує d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Алгоритм Крускала будує мінімальне остовне дерево, беручи ребра від легких до важких і пропускаючи кожне ребро, що замкнуло б цикл; алгоритм Пріма нарощує одне дерево від початкової вершини, завжди додаючи найлегше ребро, що виходить з нього. Остовне дерево з n вершин має n − 1 ребро.

Алгоритм Дейкстри раунд за раундом

Кожен рядок: зафіксована вершина, її остаточна відстань і сусіди, чия відстань покращується.

A (0): B: 15, C: 3
C (3): E: 18
B (15): D: 20
E (18): F: 33
D (20): F: 26
F (26)

Найкоротший шлях

A → B → D → F
d(F) = 26

Відповідь

d(F) = 26

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms