Алгоритми та структури даних: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 6 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачіНазад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Теорія графів

Лема про рукостискання
Σ deg(v) = 2|E|
Повні графи
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Регулярний граф
|E| = n·k/2
Дерево і ліс
|E| = n − 1, |E| = n − c
Листки дерева
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Ейлер
цикл: усі степені парні; шлях: рівно 2 непарні степені
Гамільтонові цикли в Kn
(n − 1)!/2
Оновлення в алгоритмі Дейкстри
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Маршрути довжиною L
(Mᴸ)ij

Метод

  1. Випишіть степінь кожної вершини; сума степенів дорівнює подвоєній кількості ребер.
  2. У задачах про Ейлера перевірте, що граф зв’язний, і порахуйте вершини з непарним степенем.
  3. Для дерев використовуйте n − 1 ребро та лему про рукостискання.
  4. Для алгоритму Дейкстри ведіть таблицю попередніх відстаней і щоразу фіксуйте незафіксовану вершину з найменшою відстанню.
  5. Для мінімального остовного дерева відсортуйте ребра за вагою й пропускайте кожне ребро, що замикає цикл (Крускал), або нарощуйте одне дерево від початкової вершини (Прім).

2Задачі для практики

1.Алгоритми та складністьСередня

Маючи монети номіналом 1, 3 і 4 та суму 6, скільки монет використовує жадібний метод «спершу найбільша монета» порівняно з оптимумом?

  1. AЖадібний використовує 3 монети; оптимум — 2
  2. BЖадібний використовує 4 монети; оптимум — 3
  3. CЖадібний використовує 3 монети; оптимум — 3
  4. DЖадібний використовує 2 монети; оптимум — 2
2.Алгоритми та складністьСкладна

Який час виконання алгоритму Дейкстри з бінарною купою на графі з V вершинами та E ребрами?

  1. AO(V³)
  2. BO(V × E)
  3. CO(V + E)
  4. DO((V + E) log V)
3.Структури данихСередня

Яку структуру даних використовує виконувана програма, щоб відстежувати активні виклики функцій та їхні локальні змінні?

  1. AЧергу пам'яті купи
  2. BБінарне дерево пошуку фреймів
  3. CСтек викликів
  4. DГеш-таблицю функцій
4.Структури данихСкладна

Які витрати часу й додаткової пам'яті на обернення однозв'язного списку на місці?

  1. AO(n) часу та O(n) додаткової пам'яті
  2. BO(n log n) часу та O(1) додаткової пам'яті
  3. CO(1) часу та O(1) додаткової пам'яті
  4. DO(n) часу та O(1) додаткової пам'яті
5.Теорія графівСередня
ABCDEЕйлерів циклЕйлерів шлях, не циклжодна з цих

Чи має зв’язний граф ейлерів цикл, ейлерів шлях, що не є циклом, чи нічого з цього? Клікніть свою відповідь.

|V| = 5|E| = 6
  1. 1Ейлерів цикл
  2. 2Ейлерів шлях, не цикл
  3. 3жодна з цих
6.Теорія графівСкладна
8431413106913ABCDEF

Скористайтеся алгоритмом Дейкстри, щоб знайти довжину d(F) найкоротшого шляху від A до F у зваженому графі.

початок: Aкінець: F
d(F) =

3Розчини

1.Алгоритми та складність

Відповідь: A · Жадібний використовує 3 монети; оптимум — 2

Чому це відповідь

Жадібний метод бере 4 + 1 + 1 = 3 монети, але 3 + 3 — лише 2, тож для цієї системи монет жадібний метод не оптимальний; оптимальне динамічне програмування.

Відповідь

A · Жадібний використовує 3 монети; оптимум — 2
2.Алгоритми та складність

Відповідь: D · O((V + E) log V)

Чому це відповідь

Виконується V операцій вилучення мінімуму й до E операцій зменшення ключа, кожна O(log V); купа Фібоначчі поліпшує це до O(E + V log V).

Відповідь

D · O((V + E) log V)
3.Структури даних

Відповідь: C · Стек викликів

Чому це відповідь

Кожен виклик заносить у стек фрейм, а кожне повернення виймає його, тому найновіший виклик завершується першим.

Відповідь

C · Стек викликів
4.Структури даних

Відповідь: D · O(n) часу та O(1) додаткової пам'яті

Чому це відповідь

Три вказівники (попередній, поточний, наступний) дають змогу обернути кожне посилання за один прохід, не виділяючи нових вузлів.

Відповідь

D · O(n) часу та O(1) додаткової пам'яті
5.Теорія графів

Відповідь: Ейлерів цикл

Ейлер, Гамільтон і дерева: зв’язний граф має ейлерів цикл (кожне ребро один раз, з поверненням до початку), коли кожна вершина має парний степінь, і ейлерів шлях, що не є циклом, коли рівно дві вершини мають непарний степінь; тоді шлях іде від однієї непарної вершини до другої. Гамільтонів цикл відвідує кожну вершину один раз; у Kn їх (n − 1)!/2. Дерево на n вершинах має n − 1 ребро, а зв’язний граф з m ребрами зберігає остовне дерево після вилучення m − n + 1 ребер.

Степені

deg(A) = 2, deg(B) = 4, deg(C) = 2, deg(D) = 2, deg(E) = 2

Непарні вершини

0
Ейлерів цикл

Відповідь

Ейлерів цикл
6.Теорія графів

Відповідь: d(F) = 26

Найкоротші шляхи та остовні дерева: алгоритм Дейкстри фіксує одну вершину за раунд: незафіксовану вершину з найменшою попередньою відстанню. Її відстань тоді остаточна, а кожен сусід v отримує d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Алгоритм Крускала будує мінімальне остовне дерево, беручи ребра від легких до важких і пропускаючи кожне ребро, що замкнуло б цикл; алгоритм Пріма нарощує одне дерево від початкової вершини, завжди додаючи найлегше ребро, що виходить з нього. Остовне дерево з n вершин має n − 1 ребро.

Алгоритм Дейкстри раунд за раундом

Кожен рядок: зафіксована вершина, її остаточна відстань і сусіди, чия відстань покращується.

A (0): B: 8, C: 4
C (4): B: 7, E: 17
B (7): D: 21
E (17): F: 26
D (21)
F (26)

Найкоротший шлях

A → C → E → F
d(F) = 26

Відповідь

d(F) = 26

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms