Алгоритми та структури даних: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 6 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачіНазад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Теорія графів

Лема про рукостискання
Σ deg(v) = 2|E|
Повні графи
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Регулярний граф
|E| = n·k/2
Дерево і ліс
|E| = n − 1, |E| = n − c
Листки дерева
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Ейлер
цикл: усі степені парні; шлях: рівно 2 непарні степені
Гамільтонові цикли в Kn
(n − 1)!/2
Оновлення в алгоритмі Дейкстри
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Маршрути довжиною L
(Mᴸ)ij

Метод

  1. Випишіть степінь кожної вершини; сума степенів дорівнює подвоєній кількості ребер.
  2. У задачах про Ейлера перевірте, що граф зв’язний, і порахуйте вершини з непарним степенем.
  3. Для дерев використовуйте n − 1 ребро та лему про рукостискання.
  4. Для алгоритму Дейкстри ведіть таблицю попередніх відстаней і щоразу фіксуйте незафіксовану вершину з найменшою відстанню.
  5. Для мінімального остовного дерева відсортуйте ребра за вагою й пропускайте кожне ребро, що замикає цикл (Крускал), або нарощуйте одне дерево від початкової вершини (Прім).

2Задачі для практики

1.Алгоритми та складністьСередня

Ви один раз сортуєте масив із n елементів, а потім відповідаєте на k запитів про належність бінарним пошуком. Яка загальна вартість?

  1. AO(k n log n)
  2. BO(nk)
  3. CO(n log n + k log n)
  4. DO(n + k)
2.Алгоритми та складністьСкладна

Чому будь-який пошук порівняннями у відсортованому масиві потребує Ω(log n) порівнянь у найгіршому випадку?

  1. AБінарний пошук — єдиний можливий алгоритм, і йому потрібно log₂ n порівнянь
  2. BКожне порівняння триває логарифмічний час
  3. CКожен елемент треба порівняти щонайменше один раз
  4. DДерево рішень з n можливими результатами має глибину щонайменше log₂ n
3.Структури данихСередня

Що відбувається, коли геш-таблиця виконує повторне гешування (rehash) після того, як коефіцієнт заповнення перевищив поріг?

  1. AНаявні ключі сортуються на місці
  2. BНайстаріші ключі видаляються, щоб звільнити місце
  3. CВиділяється більша таблиця, і кожен ключ вставляється знову
  4. DЛише ключі з колізіями переміщуються в новий список переповнення в кінці таблиці
4.Структури данихСкладна

Яку гарантію щодо висоти дерева з n ключами дають правила червоно-чорного дерева?

  1. AВисота щонайбільше 2 log2(n + 1)
  2. BВисота щонайбільше log2 n + 1
  3. CВисота рівно log2 n
  4. DВисота щонайбільше n / 2
5.Теорія графівСередня

Зв’язний граф має 19 вершин і 27 ребер. Скільки ребер k треба вилучити, щоб залишилося остовне дерево?

|V| = 19|E| = 27
k =
6.Теорія графівСкладна
ABCDEF

Скільки замкнених маршрутів довжиною 3 починаються й закінчуються в E? Маршрут може повторювати вершини й ребра. Позначте число N.

M = матриця суміжностіL = 3
N =

3Розчини

1.Алгоритми та складність

Відповідь: C · O(n log n + k log n)

Чому це відповідь

Сортування коштує O(n log n), а кожен запит — O(log n); за великого k це краще, ніж k лінійних переглядів (O(nk)).

Відповідь

C · O(n log n + k log n)
2.Алгоритми та складність

Відповідь: D · Дерево рішень з n можливими результатами має глибину щонайменше log₂ n

Чому це відповідь

Кожне порівняння щонайбільше вдвічі зменшує множину можливостей, що залишилися, тож для розрізнення n позицій потрібно щонайменше log₂ n порівнянь.

Відповідь

D · Дерево рішень з n можливими результатами має глибину щонайменше log₂ n
3.Структури даних

Відповідь: C · Виділяється більша таблиця, і кожен ключ вставляється знову

Чому це відповідь

Оскільки індекс обчислюється за модулем розміру таблиці, усі ключі треба повторно гешувати в нову, більшу таблицю; за подвоєння розміру це залишається O(1) амортизовано.

Відповідь

C · Виділяється більша таблиця, і кожен ключ вставляється знову
4.Структури даних

Відповідь: A · Висота щонайбільше 2 log2(n + 1)

Чому це відповідь

Кожен шлях має однакову кількість чорних вузлів, а червоні вузли не можуть бути сусідніми, тож найдовший шлях щонайбільше вдвічі довший за найкоротший, що дає висоту O(log n).

Відповідь

A · Висота щонайбільше 2 log2(n + 1)
5.Теорія графів

Відповідь: k = 9

Ейлер, Гамільтон і дерева: зв’язний граф має ейлерів цикл (кожне ребро один раз, з поверненням до початку), коли кожна вершина має парний степінь, і ейлерів шлях, що не є циклом, коли рівно дві вершини мають непарний степінь; тоді шлях іде від однієї непарної вершини до другої. Гамільтонів цикл відвідує кожну вершину один раз; у Kn їх (n − 1)!/2. Дерево на n вершинах має n − 1 ребро, а зв’язний граф з m ребрами зберігає остовне дерево після вилучення m − n + 1 ребер.

Ребра остовного дерева

19 − 1 = 18

Ребра для вилучення

k = 27 − 18 = 9

Відповідь

k = 9
6.Теорія графів

Відповідь: N = 4

Степені: степінь вершини — це кількість ребер, що в ній сходяться. Кожне ребро має два кінці, тож степені в сумі дають подвоєну кількість ребер: Σ deg(v) = 2|E| (лема про рукостискання). Тому кількість вершин з непарним степенем парна. Kn має n(n − 1)/2 ребер, k-регулярний граф на n вершинах має nk/2, а дерево на n вершинах має n − 1 ребро.

Матриця суміжності

A: 0 1 0 0 0 0
B: 1 0 1 1 1 0
C: 0 1 0 0 1 0
D: 0 1 0 0 1 0
E: 0 1 1 1 0 1
F: 0 0 0 0 1 0

Ще один крок

(M³)EE = 1·0 + 2·1 + 1·1 + 1·1 + 4·0 + 0·1 = 4

Відповідь

N = 4

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms