Алгоритми та структури даних: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 6 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачіНазад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Теорія графів

Лема про рукостискання
Σ deg(v) = 2|E|
Повні графи
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Регулярний граф
|E| = n·k/2
Дерево і ліс
|E| = n − 1, |E| = n − c
Листки дерева
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Ейлер
цикл: усі степені парні; шлях: рівно 2 непарні степені
Гамільтонові цикли в Kn
(n − 1)!/2
Оновлення в алгоритмі Дейкстри
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Маршрути довжиною L
(Mᴸ)ij

Метод

  1. Випишіть степінь кожної вершини; сума степенів дорівнює подвоєній кількості ребер.
  2. У задачах про Ейлера перевірте, що граф зв’язний, і порахуйте вершини з непарним степенем.
  3. Для дерев використовуйте n − 1 ребро та лему про рукостискання.
  4. Для алгоритму Дейкстри ведіть таблицю попередніх відстаней і щоразу фіксуйте незафіксовану вершину з найменшою відстанню.
  5. Для мінімального остовного дерева відсортуйте ребра за вагою й пропускайте кожне ребро, що замикає цикл (Крускал), або нарощуйте одне дерево від початкової вершини (Прім).

2Задачі для практики

1.Алгоритми та складністьСередня

Нижня межа для сортування на основі порівнянь у найгіршому випадку становить:

  1. AΩ(n log n)
  2. BΩ(n)
  3. CΩ(n²)
  4. DΩ(log n)
2.Алгоритми та складністьСкладна

Що треба зробити, щоб показати, що нова задача X є NP-складною?

  1. AЗвести X до відомої NP-складної задачі за поліноміальний час
  2. BПоказати, що X можна перевірити за поліноміальний час
  3. CПоказати, що X не має поліноміального алгоритму для малих вхідних даних
  4. DЗвести відому NP-складну задачу до X за поліноміальний час
3.Структури данихСередня

Який метод розв'язання колізій зберігає ключі, що конфліктують, у списку в тому самому кошику?

  1. AЛінійне зондування
  2. BКвадратичне зондування
  3. CМетод ланцюжків (separate chaining)
  4. DПодвійне гешування
4.Структури данихСкладна

Чому зі стандартного фільтра Блума не можна просто видаляти елементи, очищаючи їхні біти?

  1. AЦі біти можуть належати й іншим елементам, що спричинило б хибнонегативні результати
  2. BФільтри Блума зберігають повні елементи, і після гешування їх неможливо знайти знову
  3. CВидалення підвищило б частку хибнопозитивних результатів до 100%
  4. DБіти у фільтрі Блума не можна змінювати після створення
5.Теорія графівСередня

Зв’язний граф має 12 вершин і 12 ребер. Скільки ребер k треба вилучити, щоб залишилося остовне дерево?

|V| = 12|E| = 12
k =
6.Теорія графівСкладна
9128112619ABCDEF

Скористайтеся алгоритмом Дейкстри, щоб знайти довжину d(F) найкоротшого шляху від A до F у зваженому графі.

початок: Aкінець: F
d(F) =

3Розчини

1.Алгоритми та складність

Відповідь: A · Ω(n log n)

Чому це відповідь

Будь-якому сортуванню порівняннями в найгіршому випадку потрібно щонайменше log₂(n!) ≈ n log n порівнянь. Сортування підрахунком (counting sort) обходить цю межу, бо не порівнює елементи.

Відповідь

A · Ω(n log n)
2.Алгоритми та складність

Відповідь: D · Звести відому NP-складну задачу до X за поліноміальний час

Чому це відповідь

Якщо відому складну задачу можна ефективно перетворити на X, то швидкий алгоритм для X розв'язав би й відому задачу.

Відповідь

D · Звести відому NP-складну задачу до X за поліноміальний час
3.Структури даних

Відповідь: C · Метод ланцюжків (separate chaining)

Чому це відповідь

Метод ланцюжків зберігає для кожного кошика зв'язний список (або іншу структуру); відкрита адресація шукає інше вільне місце в самій таблиці.

Відповідь

C · Метод ланцюжків (separate chaining)
4.Структури даних

Відповідь: A · Ці біти можуть належати й іншим елементам, що спричинило б хибнонегативні результати

Чому це відповідь

Очищення спільного біта зробило б інший елемент нібито відсутнім; лічильні фільтри Блума замість бітів зберігають лічильники, щоб дозволити видалення.

Відповідь

A · Ці біти можуть належати й іншим елементам, що спричинило б хибнонегативні результати
5.Теорія графів

Відповідь: k = 1

Ейлер, Гамільтон і дерева: зв’язний граф має ейлерів цикл (кожне ребро один раз, з поверненням до початку), коли кожна вершина має парний степінь, і ейлерів шлях, що не є циклом, коли рівно дві вершини мають непарний степінь; тоді шлях іде від однієї непарної вершини до другої. Гамільтонів цикл відвідує кожну вершину один раз; у Kn їх (n − 1)!/2. Дерево на n вершинах має n − 1 ребро, а зв’язний граф з m ребрами зберігає остовне дерево після вилучення m − n + 1 ребер.

Ребра остовного дерева

12 − 1 = 11

Ребра для вилучення

k = 12 − 11 = 1

Відповідь

k = 1
6.Теорія графів

Відповідь: d(F) = 15

Найкоротші шляхи та остовні дерева: алгоритм Дейкстри фіксує одну вершину за раунд: незафіксовану вершину з найменшою попередньою відстанню. Її відстань тоді остаточна, а кожен сусід v отримує d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Алгоритм Крускала будує мінімальне остовне дерево, беручи ребра від легких до важких і пропускаючи кожне ребро, що замкнуло б цикл; алгоритм Пріма нарощує одне дерево від початкової вершини, завжди додаючи найлегше ребро, що виходить з нього. Остовне дерево з n вершин має n − 1 ребро.

Алгоритм Дейкстри раунд за раундом

Кожен рядок: зафіксована вершина, її остаточна відстань і сусіди, чия відстань покращується.

A (0): B: 9, C: 12
B (9): D: 20, E: 18
C (12): E: 14
E (14): F: 15
F (15)
D (20)

Найкоротший шлях

A → C → E → F
d(F) = 15

Відповідь

d(F) = 15

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms