Алгоритми та структури даних: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 6 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачіНазад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Теорія графів

Лема про рукостискання
Σ deg(v) = 2|E|
Повні графи
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Регулярний граф
|E| = n·k/2
Дерево і ліс
|E| = n − 1, |E| = n − c
Листки дерева
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Ейлер
цикл: усі степені парні; шлях: рівно 2 непарні степені
Гамільтонові цикли в Kn
(n − 1)!/2
Оновлення в алгоритмі Дейкстри
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Маршрути довжиною L
(Mᴸ)ij

Метод

  1. Випишіть степінь кожної вершини; сума степенів дорівнює подвоєній кількості ребер.
  2. У задачах про Ейлера перевірте, що граф зв’язний, і порахуйте вершини з непарним степенем.
  3. Для дерев використовуйте n − 1 ребро та лему про рукостискання.
  4. Для алгоритму Дейкстри ведіть таблицю попередніх відстаней і щоразу фіксуйте незафіксовану вершину з найменшою відстанню.
  5. Для мінімального остовного дерева відсортуйте ребра за вагою й пропускайте кожне ребро, що замикає цикл (Крускал), або нарощуйте одне дерево від початкової вершини (Прім).

2Задачі для практики

1.Алгоритми та складністьСередня

Яка амортизована часова складність додавання елемента в кінець динамічного масиву, який подвоює свою місткість у разі заповнення?

  1. AO(n)
  2. BO(1)
  3. CO(log n)
  4. DO(n²)
2.Алгоритми та складністьСкладна

Яке твердження про позначення «мале o» правильне?

  1. An = o(n), бо кожна функція є «мале o» від самої себе
  2. B2n = o(n), бо 2n зростає повільно
  3. Cn = o(n²), але n не є o(n)
  4. Dn² = o(n)
3.Структури данихСередня

Ключі 50, 30, 70, 20, 40 вставляють у такому порядку в порожнє бінарне дерево пошуку. Яка ліва дитина вузла 30?

  1. A50
  2. B70
  3. C40
  4. D20
4.Структури данихСкладна

Вузол AVL-дерева незбалансований, бо праве піддерево його лівої дитини стало надто високим (випадок «ліво-право»). Яке виправлення застосовують?

  1. AОдинарний правий поворот у вузлі
  2. BПравий поворот у лівій дитині, потім лівий поворот у вузлі
  3. CЛівий поворот у лівій дитині, потім правий поворот у вузлі
  4. DОдинарний лівий поворот у вузлі
5.Теорія графівСередня

Скільки різних гамільтонових циклів H має повний граф K6? Цикли, що відрізняються лише початковою вершиною чи напрямком, вважаються однаковими.

K6
H =
6.Теорія графівСкладна
155216111373ABCDEF

Алгоритм Крускала будує мінімальне остовне дерево. Клікніть ребро, яке він додає як ребро номер 4; пропущені ребра не враховуються.

k = 4
  1. 1ребро AB
  2. 2ребро AC
  3. 3ребро BC
  4. 4ребро BD
  5. 5ребро CE
  6. 6ребро DE
  7. 7ребро EF
  8. 8ребро BE

3Розчини

1.Алгоритми та складність

Відповідь: B · O(1)

Чому це відповідь

Копіювання всіх елементів відбувається лише на степенях двійки; якщо розподілити ці витрати на всі додавання, середня вартість одного додавання стала.

Відповідь

B · O(1)
2.Алгоритми та складність

Відповідь: C · n = o(n²), але n не є o(n)

Чому це відповідь

f = o(g) означає, що f(n) / g(n) прямує до 0; n / n² прямує до 0, а n / n = 1 — ні.

Відповідь

C · n = o(n²), але n не є o(n)
3.Структури даних

Відповідь: D · 20

Чому це відповідь

20 менше за 50 і менше за 30, тож стає лівою дитиною вузла 30; 40 стає його правою дитиною.

Відповідь

D · 20
4.Структури даних

Відповідь: C · Лівий поворот у лівій дитині, потім правий поворот у вузлі

Чому це відповідь

Перший поворот перетворює випадок «ліво-право» на випадок «ліво-ліво», який потім виправляє правий поворот у незбалансованому вузлі.

Відповідь

C · Лівий поворот у лівій дитині, потім правий поворот у вузлі
5.Теорія графів

Відповідь: H = 60

Ейлер, Гамільтон і дерева: зв’язний граф має ейлерів цикл (кожне ребро один раз, з поверненням до початку), коли кожна вершина має парний степінь, і ейлерів шлях, що не є циклом, коли рівно дві вершини мають непарний степінь; тоді шлях іде від однієї непарної вершини до другої. Гамільтонів цикл відвідує кожну вершину один раз; у Kn їх (n − 1)!/2. Дерево на n вершинах має n − 1 ребро, а зв’язний граф з m ребрами зберігає остовне дерево після вилучення m − n + 1 ребер.

Порахуйте

H = (6 − 1)!/2 = 120/2 = 60

Відповідь

H = 60
6.Теорія графів

Відповідь: ребро EF

Найкоротші шляхи та остовні дерева: алгоритм Дейкстри фіксує одну вершину за раунд: незафіксовану вершину з найменшою попередньою відстанню. Її відстань тоді остаточна, а кожен сусід v отримує d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Алгоритм Крускала будує мінімальне остовне дерево, беручи ребра від легких до важких і пропускаючи кожне ребро, що замкнуло б цикл; алгоритм Пріма нарощує одне дерево від початкової вершини, завжди додаючи найлегше ребро, що виходить з нього. Остовне дерево з n вершин має n − 1 ребро.

Алгоритм Крускала

1. BC (2)
2. BE (3)
3. AC (5)
4. EF (7)
5. DE (13)

номер ребра 4

EF

Відповідь

ребро EF

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms