Алгоритми та структури даних: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 6 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачіНазад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Теорія графів

Лема про рукостискання
Σ deg(v) = 2|E|
Повні графи
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Регулярний граф
|E| = n·k/2
Дерево і ліс
|E| = n − 1, |E| = n − c
Листки дерева
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Ейлер
цикл: усі степені парні; шлях: рівно 2 непарні степені
Гамільтонові цикли в Kn
(n − 1)!/2
Оновлення в алгоритмі Дейкстри
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Маршрути довжиною L
(Mᴸ)ij

Метод

  1. Випишіть степінь кожної вершини; сума степенів дорівнює подвоєній кількості ребер.
  2. У задачах про Ейлера перевірте, що граф зв’язний, і порахуйте вершини з непарним степенем.
  3. Для дерев використовуйте n − 1 ребро та лему про рукостискання.
  4. Для алгоритму Дейкстри ведіть таблицю попередніх відстаней і щоразу фіксуйте незафіксовану вершину з найменшою відстанню.
  5. Для мінімального остовного дерева відсортуйте ребра за вагою й пропускайте кожне ребро, що замикає цикл (Крускал), або нарощуйте одне дерево від початкової вершини (Прім).

2Задачі для практики

1.Алгоритми та складністьСередня

Який час виконання порозрядного сортування LSD для n цілих чисел із d цифрами в системі числення з основою k?

  1. AO(d(n + k))
  2. BO(n log n)
  3. CO(dn log k)
  4. DO(n²)
2.Алгоритми та складністьСкладна

Яке визначення класу NP правильне?

  1. AЗадачі, які неможливо розв'язати за поліноміальний час
  2. BЗадачі, які не може розв'язати жоден алгоритм
  3. CЗадачі розпізнавання, відповіді «так» для яких можна перевірити за поліноміальний час за наявності сертифіката
  4. DЗадачі, що не є поліноміальними
3.Структури данихСередня

Яке призначення сторожового (фіктивного, sentinel) вузла у зв'язному списку?

  1. AСпростити код, усунувши особливі випадки на голові чи хвості
  2. BНе дати списку зростати понад фіксовану максимальну кількість вузлів
  3. CЗберігати кількість елементів
  4. DЗробити список відсортованим
4.Структури данихСкладна

Чому в геш-таблиці з відкритою адресацією видалення часто виконують за допомогою позначки «надгробок» (tombstone)?

  1. AЦе робить таблицю відсортованою
  2. BВидалені ключі треба зберігати назавжди з міркувань безпеки, тож комірки ніколи не можна використати повторно
  3. CНадгробки пришвидшують гешування
  4. DЗвільнення комірки могло б розірвати послідовність зондування для інших ключів
5.Теорія графівСередня

Дерево має 4 вершин степеня 4, 2 вершин степеня 2, а всі його інші вершини — листки (степінь 1). Скільки листків L воно має?

4 × deg 42 × deg 2
L =
6.Теорія графівСкладна
19618161172013ABCDEF

Знайдіть загальну вагу W мінімального остовного дерева зваженого графа.

|V| = 6|E| = 8
W =

3Розчини

1.Алгоритми та складність

Відповідь: A · O(d(n + k))

Чому це відповідь

Кожен із d проходів — сортування підрахунком вартістю O(n + k), тож для фіксованих d і k загальна складність лінійна за n.

Відповідь

A · O(d(n + k))
2.Алгоритми та складність

Відповідь: C · Задачі розпізнавання, відповіді «так» для яких можна перевірити за поліноміальний час за наявності сертифіката

Чому це відповідь

Для задачі з NP запропонований розв'язок (сертифікат) можна швидко перевірити, наприклад переконатися, що задане присвоєння задовольняє булеву формулу.

Відповідь

C · Задачі розпізнавання, відповіді «так» для яких можна перевірити за поліноміальний час за наявності сертифіката
3.Структури даних

Відповідь: A · Спростити код, усунувши особливі випадки на голові чи хвості

Чому це відповідь

Зі сторожовим вузлом кожен справжній вузол має попередника, тож вставлення чи видалення на початку не потребує особливої обробки.

Відповідь

A · Спростити код, усунувши особливі випадки на голові чи хвості
4.Структури даних

Відповідь: D · Звільнення комірки могло б розірвати послідовність зондування для інших ключів

Чому це відповідь

Якби видалена комірка стала порожньою, подальші пошуки могли б зупинитися зарано й пропустити ключі, розміщені далі в ланцюжку зондування.

Відповідь

D · Звільнення комірки могло б розірвати послідовність зондування для інших ключів
5.Теорія графів

Відповідь: L = 10

Ейлер, Гамільтон і дерева: зв’язний граф має ейлерів цикл (кожне ребро один раз, з поверненням до початку), коли кожна вершина має парний степінь, і ейлерів шлях, що не є циклом, коли рівно дві вершини мають непарний степінь; тоді шлях іде від однієї непарної вершини до другої. Гамільтонів цикл відвідує кожну вершину один раз; у Kn їх (n − 1)!/2. Дерево на n вершинах має n − 1 ребро, а зв’язний граф з m ребрами зберігає остовне дерево після вилучення m − n + 1 ребер.

Лема про рукостискання для дерева

L + 20 = 2(L + 6) − 2
L = 10

Відповідь

L = 10

Скорочення: L = 2 + Σ (d − 2) за вершинами зі степенем d ≥ 3.

6.Теорія графів

Відповідь: W = 55

Найкоротші шляхи та остовні дерева: алгоритм Дейкстри фіксує одну вершину за раунд: незафіксовану вершину з найменшою попередньою відстанню. Її відстань тоді остаточна, а кожен сусід v отримує d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Алгоритм Крускала будує мінімальне остовне дерево, беручи ребра від легких до важких і пропускаючи кожне ребро, що замкнуло б цикл; алгоритм Пріма нарощує одне дерево від початкової вершини, завжди додаючи найлегше ребро, що виходить з нього. Остовне дерево з n вершин має n − 1 ребро.

Алгоритм Крускала

AC (6): взяти
DF (7): взяти
DE (11): взяти
BE (13): взяти
BD (16): пропустити, замикає цикл
BC (18): взяти

Загальна вага

W = 6 + 7 + 11 + 13 + 18 = 55

Відповідь

W = 55

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms