Алгоритми та структури даних: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 6 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачіНазад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Теорія графів

Лема про рукостискання
Σ deg(v) = 2|E|
Повні графи
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Регулярний граф
|E| = n·k/2
Дерево і ліс
|E| = n − 1, |E| = n − c
Листки дерева
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Ейлер
цикл: усі степені парні; шлях: рівно 2 непарні степені
Гамільтонові цикли в Kn
(n − 1)!/2
Оновлення в алгоритмі Дейкстри
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Маршрути довжиною L
(Mᴸ)ij

Метод

  1. Випишіть степінь кожної вершини; сума степенів дорівнює подвоєній кількості ребер.
  2. У задачах про Ейлера перевірте, що граф зв’язний, і порахуйте вершини з непарним степенем.
  3. Для дерев використовуйте n − 1 ребро та лему про рукостискання.
  4. Для алгоритму Дейкстри ведіть таблицю попередніх відстаней і щоразу фіксуйте незафіксовану вершину з найменшою відстанню.
  5. Для мінімального остовного дерева відсортуйте ребра за вагою й пропускайте кожне ребро, що замикає цикл (Крускал), або нарощуйте одне дерево від початкової вершини (Прім).

2Задачі для практики

1.Алгоритми та складністьСередня

Чому багато бібліотечних процедур сортування переходять на сортування вставками для дуже малих підмасивів?

  1. AРекурсивні алгоритми не можуть обробляти масиви менші за 10 елементів
  2. BСортування вставками використовує менше пам'яті, ніж будь-який інший алгоритм сортування, на великих даних
  3. CСортування вставками має складність O(n log n) у найгіршому випадку
  4. DСортування вставками має малі накладні витрати й швидке на малих або майже відсортованих даних
2.Алгоритми та складністьСкладна

Які часові та просторові витрати обчислення n-го числа Фібоначчі циклом, що зберігає лише два останні значення?

  1. AO(n) часу та O(1) пам'яті
  2. BO(log n) часу та O(n) пам'яті
  3. CO(n) часу та O(n) пам'яті
  4. DO(2ⁿ) часу та O(1) пам'яті
3.Структури данихСередня

Ви маєте посилання на вузол у середині списку. У якому списку його можна видалити за O(1)?

  1. AУ двозв'язному списку
  2. BУ відсортованому масиві
  3. CВ однозв'язному списку
  4. DУ динамічному масиві
4.Структури данихСкладна

Динамічний масив подвоюється, коли заповнюється. Чому багато реалізацій зменшують його лише тоді, коли він заповнений на чверть, а не наполовину?

  1. AБо розподілювач пам'яті може звільняти пам'ять лише чвертями блока
  2. BЩоб уникнути повторних змін розміру, коли push і pop чергуються біля межі
  3. CБо зменшення вдвічі за половинного заповнення призвело б до втрати елементів
  4. DЩоб масив залишався відсортованим
5.Теорія графівСередня

Зв’язний граф має 6 вершин і 9 ребер. Скільки ребер k треба вилучити, щоб залишилося остовне дерево?

|V| = 6|E| = 9
k =
6.Теорія графівСкладна
1817681973ABCDE

Алгоритм Крускала будує мінімальне остовне дерево. Клікніть ребро, яке він додає як ребро номер 3; пропущені ребра не враховуються.

k = 3
  1. 1ребро AB
  2. 2ребро AC
  3. 3ребро BC
  4. 4ребро BD
  5. 5ребро CE
  6. 6ребро DE
  7. 7ребро BE

3Розчини

1.Алгоритми та складність

Відповідь: D · Сортування вставками має малі накладні витрати й швидке на малих або майже відсортованих даних

Чому це відповідь

Для малих n простий цикл сортування вставками перевершує накладні витрати рекурсії швидкого сортування чи сортування злиттям, хоча воно й O(n²).

Відповідь

D · Сортування вставками має малі накладні витрати й швидке на малих або майже відсортованих даних
2.Алгоритми та складність

Відповідь: A · O(n) часу та O(1) пам'яті

Чому це відповідь

Кожному крокові потрібні лише два попередні значення, тож таблицю методу «знизу вгору» можна замінити двома змінними.

Відповідь

A · O(n) часу та O(1) пам'яті
3.Структури даних

Відповідь: A · У двозв'язному списку

Чому це відповідь

Вузол двозв'язного списку знає свого попередника, тож можна безпосередньо перев'язати prev і next; в однозв'язному списку попередника доводиться шукати.

Відповідь

A · У двозв'язному списку
4.Структури даних

Відповідь: B · Щоб уникнути повторних змін розміру, коли push і pop чергуються біля межі

Чому це відповідь

Зменшення при половинному заповненні могло б запускати зміну розміру на кожній операції такої послідовності; проміжок між 1/4 і повним заповненням зберігає амортизовану вартість O(1).

Відповідь

B · Щоб уникнути повторних змін розміру, коли push і pop чергуються біля межі
5.Теорія графів

Відповідь: k = 4

Ейлер, Гамільтон і дерева: зв’язний граф має ейлерів цикл (кожне ребро один раз, з поверненням до початку), коли кожна вершина має парний степінь, і ейлерів шлях, що не є циклом, коли рівно дві вершини мають непарний степінь; тоді шлях іде від однієї непарної вершини до другої. Гамільтонів цикл відвідує кожну вершину один раз; у Kn їх (n − 1)!/2. Дерево на n вершинах має n − 1 ребро, а зв’язний граф з m ребрами зберігає остовне дерево після вилучення m − n + 1 ребер.

Ребра остовного дерева

6 − 1 = 5

Ребра для вилучення

k = 9 − 5 = 4

Відповідь

k = 4
6.Теорія графів

Відповідь: ребро DE

Найкоротші шляхи та остовні дерева: алгоритм Дейкстри фіксує одну вершину за раунд: незафіксовану вершину з найменшою попередньою відстанню. Її відстань тоді остаточна, а кожен сусід v отримує d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Алгоритм Крускала будує мінімальне остовне дерево, беручи ребра від легких до важких і пропускаючи кожне ребро, що замкнуло б цикл; алгоритм Пріма нарощує одне дерево від початкової вершини, завжди додаючи найлегше ребро, що виходить з нього. Остовне дерево з n вершин має n − 1 ребро.

Алгоритм Крускала

1. BE (3)
2. BC (6)
3. DE (7)
4. AC (17)

номер ребра 3

DE

Відповідь

ребро DE

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms