Алгоритми та структури даних: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 6 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачіНазад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Теорія графів

Лема про рукостискання
Σ deg(v) = 2|E|
Повні графи
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Регулярний граф
|E| = n·k/2
Дерево і ліс
|E| = n − 1, |E| = n − c
Листки дерева
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Ейлер
цикл: усі степені парні; шлях: рівно 2 непарні степені
Гамільтонові цикли в Kn
(n − 1)!/2
Оновлення в алгоритмі Дейкстри
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Маршрути довжиною L
(Mᴸ)ij

Метод

  1. Випишіть степінь кожної вершини; сума степенів дорівнює подвоєній кількості ребер.
  2. У задачах про Ейлера перевірте, що граф зв’язний, і порахуйте вершини з непарним степенем.
  3. Для дерев використовуйте n − 1 ребро та лему про рукостискання.
  4. Для алгоритму Дейкстри ведіть таблицю попередніх відстаней і щоразу фіксуйте незафіксовану вершину з найменшою відстанню.
  5. Для мінімального остовного дерева відсортуйте ребра за вагою й пропускайте кожне ребро, що замикає цикл (Крускал), або нарощуйте одне дерево від початкової вершини (Прім).

2Задачі для практики

1.Алгоритми та складністьСередня

Що означає, що задача має оптимальну підструктуру?

  1. AУсі підзадачі мають однаковий розмір
  2. BЗадачу можна розв'язати за сталий час
  3. CЗадача має рівно один оптимальний розв'язок, спільний для кожної підзадачі
  4. DОптимальний розв'язок можна побудувати з оптимальних розв'язків її підзадач
2.Алгоритми та складністьСкладна

Для якого варіанта задачі про рюкзак жадібне правило «брати предмети в порядку цінності на одиницю ваги» завжди дає оптимальну відповідь?

  1. AДля обох варіантів
  2. BДля жодного варіанта
  3. CДля рюкзака 0/1, де предмети завжди потрібно брати цілими
  4. DДля неперервного (дробового) рюкзака, де предмети можна ділити
3.Структури данихСередня

Як працює extract-min у бінарній мін-купі?

  1. AОстанній елемент переміщують у корінь і просіюють униз
  2. BВидаляють корінь і зсувають усі елементи на одну позицію ліворуч
  3. CВидаляють останній елемент масиву
  4. DШукають новий мінімум серед усіх листків
4.Структури данихСкладна

Динамічний масив подвоюється, коли заповнюється. Чому багато реалізацій зменшують його лише тоді, коли він заповнений на чверть, а не наполовину?

  1. AЩоб уникнути повторних змін розміру, коли push і pop чергуються біля межі
  2. BЩоб масив залишався відсортованим
  3. CБо зменшення вдвічі за половинного заповнення призвело б до втрати елементів
  4. DБо розподілювач пам'яті може звільняти пам'ять лише чвертями блока
5.Теорія графівСередня

Дерево має 3 вершин степеня 3, 3 вершин степеня 4, 3 вершин степеня 5, 4 вершин степеня 2, а всі його інші вершини — листки (степінь 1). Скільки листків L воно має?

3 × deg 33 × deg 43 × deg 54 × deg 2
L =
6.Теорія графівСкладна
13618128115ABCDE

Алгоритм Крускала будує мінімальне остовне дерево. Клікніть ребро, яке він додає як ребро номер 2; пропущені ребра не враховуються.

k = 2
  1. 1ребро AB
  2. 2ребро AC
  3. 3ребро BC
  4. 4ребро BD
  5. 5ребро CE
  6. 6ребро DE
  7. 7ребро BE

3Розчини

1.Алгоритми та складність

Відповідь: D · Оптимальний розв'язок можна побудувати з оптимальних розв'язків її підзадач

Чому це відповідь

Оптимальна підструктура потрібна, щоб і жадібні алгоритми, і динамічне програмування давали правильні відповіді.

Відповідь

D · Оптимальний розв'язок можна побудувати з оптимальних розв'язків її підзадач
2.Алгоритми та складність

Відповідь: D · Для неперервного (дробового) рюкзака, де предмети можна ділити

Чому це відповідь

Коли предмети можна ділити, оптимально брати спершу з найкращим відношенням; у рюкзаку 0/1 предмет із високим відношенням може заблокувати кращу комбінацію, тож потрібне динамічне програмування.

Відповідь

D · Для неперервного (дробового) рюкзака, де предмети можна ділити
3.Структури даних

Відповідь: A · Останній елемент переміщують у корінь і просіюють униз

Чому це відповідь

Останній елемент заповнює порожнє місце в корені й обмінюється з меншою дитиною, доки не виконується властивість купи, що займає O(log n).

Відповідь

A · Останній елемент переміщують у корінь і просіюють униз
4.Структури даних

Відповідь: A · Щоб уникнути повторних змін розміру, коли push і pop чергуються біля межі

Чому це відповідь

Зменшення при половинному заповненні могло б запускати зміну розміру на кожній операції такої послідовності; проміжок між 1/4 і повним заповненням зберігає амортизовану вартість O(1).

Відповідь

A · Щоб уникнути повторних змін розміру, коли push і pop чергуються біля межі
5.Теорія графів

Відповідь: L = 20

Ейлер, Гамільтон і дерева: зв’язний граф має ейлерів цикл (кожне ребро один раз, з поверненням до початку), коли кожна вершина має парний степінь, і ейлерів шлях, що не є циклом, коли рівно дві вершини мають непарний степінь; тоді шлях іде від однієї непарної вершини до другої. Гамільтонів цикл відвідує кожну вершину один раз; у Kn їх (n − 1)!/2. Дерево на n вершинах має n − 1 ребро, а зв’язний граф з m ребрами зберігає остовне дерево після вилучення m − n + 1 ребер.

Лема про рукостискання для дерева

L + 44 = 2(L + 13) − 2
L = 20

Відповідь

L = 20

Скорочення: L = 2 + Σ (d − 2) за вершинами зі степенем d ≥ 3.

6.Теорія графів

Відповідь: ребро AC

Найкоротші шляхи та остовні дерева: алгоритм Дейкстри фіксує одну вершину за раунд: незафіксовану вершину з найменшою попередньою відстанню. Її відстань тоді остаточна, а кожен сусід v отримує d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Алгоритм Крускала будує мінімальне остовне дерево, беручи ребра від легких до важких і пропускаючи кожне ребро, що замкнуло б цикл; алгоритм Пріма нарощує одне дерево від початкової вершини, завжди додаючи найлегше ребро, що виходить з нього. Остовне дерево з n вершин має n − 1 ребро.

Алгоритм Крускала

1. BE (5)
2. AC (6)
3. CE (8)
4. DE (11)

номер ребра 2

AC

Відповідь

ребро AC

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms