Алгоритми та структури даних: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 6 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачіНазад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Теорія графів

Лема про рукостискання
Σ deg(v) = 2|E|
Повні графи
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Регулярний граф
|E| = n·k/2
Дерево і ліс
|E| = n − 1, |E| = n − c
Листки дерева
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Ейлер
цикл: усі степені парні; шлях: рівно 2 непарні степені
Гамільтонові цикли в Kn
(n − 1)!/2
Оновлення в алгоритмі Дейкстри
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Маршрути довжиною L
(Mᴸ)ij

Метод

  1. Випишіть степінь кожної вершини; сума степенів дорівнює подвоєній кількості ребер.
  2. У задачах про Ейлера перевірте, що граф зв’язний, і порахуйте вершини з непарним степенем.
  3. Для дерев використовуйте n − 1 ребро та лему про рукостискання.
  4. Для алгоритму Дейкстри ведіть таблицю попередніх відстаней і щоразу фіксуйте незафіксовану вершину з найменшою відстанню.
  5. Для мінімального остовного дерева відсортуйте ребра за вагою й пропускайте кожне ребро, що замикає цикл (Крускал), або нарощуйте одне дерево від початкової вершини (Прім).

2Задачі для практики

1.Алгоритми та складністьСередня

Динамічне програмування корисне, коли задача має:

  1. AЖодних підзадач, тож її можна розв'язати за один крок
  2. BПерекривні підзадачі та оптимальну підструктуру
  3. CОдин цикл
  4. DЛише випадкові вхідні дані
2.Алгоритми та складністьСкладна

Що випливало б, якби хтось знайшов поліноміальний алгоритм для однієї NP-повної задачі?

  1. AЛише ця одна задача перейшла б до P
  2. BПроблема зупинки стала б розв'язною
  3. CУсі алгоритми з експоненційним часом негайно стали б працювати за лінійний час
  4. DКожну задачу з NP можна було б розв'язати за поліноміальний час, тож P = NP
3.Структури данихСередня

Яка вартість вставлення елемента в середину масиву з n елементів?

  1. AO(n), бо наступні елементи доводиться зсувати
  2. BO(1), бо індекс відомий
  3. CO(n²), бо кожен елемент переміщується n разів
  4. DO(log n) через бінарний пошук
4.Структури данихСкладна

Фільтр Блума може відповісти на запитання «чи належить цей елемент множині?»:

  1. AЛише для чисел
  2. BЗ можливими хибнопозитивними, але без хибнонегативних результатів
  3. CЗавжди точно
  4. DЗ можливими хибнонегативними, але без хибнопозитивних результатів
5.Теорія графівСередня

Дерево має 4 вершин степеня 3, 3 вершин степеня 4, 3 вершин степеня 5, 2 вершин степеня 2, а всі його інші вершини — листки (степінь 1). Скільки листків L воно має?

4 × deg 33 × deg 43 × deg 52 × deg 2
L =
6.Теорія графівСкладна
1131414851149ABCDEFG

Скористайтеся алгоритмом Дейкстри, щоб знайти довжину d(F) найкоротшого шляху від A до F у зваженому графі.

початок: Aкінець: F
d(F) =

3Розчини

1.Алгоритми та складність

Відповідь: B · Перекривні підзадачі та оптимальну підструктуру

Чому це відповідь

Збереження результатів перекривних підзадач (мемоізація або табуляція) дає змогу уникнути повторної роботи й перетворює експоненційні алгоритми на поліноміальні.

Відповідь

B · Перекривні підзадачі та оптимальну підструктуру
2.Алгоритми та складність

Відповідь: D · Кожну задачу з NP можна було б розв'язати за поліноміальний час, тож P = NP

Чому це відповідь

Оскільки весь клас NP зводиться до будь-якої NP-повної задачі за поліноміальний час, швидкий алгоритм для однієї дає швидкий алгоритм для всіх.

Відповідь

D · Кожну задачу з NP можна було б розв'язати за поліноміальний час, тож P = NP
3.Структури даних

Відповідь: A · O(n), бо наступні елементи доводиться зсувати

Чому це відповідь

Усі елементи після точки вставлення зсуваються на одну позицію праворуч, що займає час, пропорційний n.

Відповідь

A · O(n), бо наступні елементи доводиться зсувати
4.Структури даних

Відповідь: B · З можливими хибнопозитивними, але без хибнонегативних результатів

Чому це відповідь

Якщо будь-який біт для елемента дорівнює 0, елемента точно немає; якщо всі дорівнюють 1, він, імовірно, є. Фільтри Блума жертвують точністю заради дуже малого обсягу пам'яті.

Відповідь

B · З можливими хибнопозитивними, але без хибнонегативних результатів
5.Теорія графів

Відповідь: L = 21

Ейлер, Гамільтон і дерева: зв’язний граф має ейлерів цикл (кожне ребро один раз, з поверненням до початку), коли кожна вершина має парний степінь, і ейлерів шлях, що не є циклом, коли рівно дві вершини мають непарний степінь; тоді шлях іде від однієї непарної вершини до другої. Гамільтонів цикл відвідує кожну вершину один раз; у Kn їх (n − 1)!/2. Дерево на n вершинах має n − 1 ребро, а зв’язний граф з m ребрами зберігає остовне дерево після вилучення m − n + 1 ребер.

Лема про рукостискання для дерева

L + 43 = 2(L + 12) − 2
L = 21

Відповідь

L = 21

Скорочення: L = 2 + Σ (d − 2) за вершинами зі степенем d ≥ 3.

6.Теорія графів

Відповідь: d(F) = 16

Найкоротші шляхи та остовні дерева: алгоритм Дейкстри фіксує одну вершину за раунд: незафіксовану вершину з найменшою попередньою відстанню. Її відстань тоді остаточна, а кожен сусід v отримує d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Алгоритм Крускала будує мінімальне остовне дерево, беручи ребра від легких до важких і пропускаючи кожне ребро, що замкнуло б цикл; алгоритм Пріма нарощує одне дерево від початкової вершини, завжди додаючи найлегше ребро, що виходить з нього. Остовне дерево з n вершин має n − 1 ребро.

Алгоритм Дейкстри раунд за раундом

Кожен рядок: зафіксована вершина, її остаточна відстань і сусіди, чия відстань покращується.

A (0): B: 1
B (1): C: 14, D: 15, G: 2
G (2): E: 11
E (11): F: 16
C (14)
D (15)
F (16)

Найкоротший шлях

A → B → G → E → F
d(F) = 16

Відповідь

d(F) = 16

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms