Алгоритми та структури даних: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 6 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачіНазад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Теорія графів

Лема про рукостискання
Σ deg(v) = 2|E|
Повні графи
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Регулярний граф
|E| = n·k/2
Дерево і ліс
|E| = n − 1, |E| = n − c
Листки дерева
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Ейлер
цикл: усі степені парні; шлях: рівно 2 непарні степені
Гамільтонові цикли в Kn
(n − 1)!/2
Оновлення в алгоритмі Дейкстри
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Маршрути довжиною L
(Mᴸ)ij

Метод

  1. Випишіть степінь кожної вершини; сума степенів дорівнює подвоєній кількості ребер.
  2. У задачах про Ейлера перевірте, що граф зв’язний, і порахуйте вершини з непарним степенем.
  3. Для дерев використовуйте n − 1 ребро та лему про рукостискання.
  4. Для алгоритму Дейкстри ведіть таблицю попередніх відстаней і щоразу фіксуйте незафіксовану вершину з найменшою відстанню.
  5. Для мінімального остовного дерева відсортуйте ребра за вагою й пропускайте кожне ребро, що замикає цикл (Крускал), або нарощуйте одне дерево від початкової вершини (Прім).

2Задачі для практики

1.Алгоритми та складністьСередня

Як алгоритм Прима будує мінімальне кістякове дерево?

  1. AВін запускає пошук у ширину й зберігає дерево BFS
  2. BВін вирощує одне дерево від початкової вершини, додаючи найдешевше ребро, що виходить із дерева
  3. CВін сортує всі ребра за вагою й додає кожне, окрім тих, що утворили б цикл у лісі
  4. DВін видаляє найдорожче ребро, доки не залишиться циклів
2.Алгоритми та складністьСкладна

Чи належить 22n до O(2ⁿ)?

  1. AНі, бо 22n = 4ⁿ, а 4ⁿ / 2ⁿ = 2ⁿ зростає необмежено
  2. BТак, бо обидві функції експоненційні
  3. CНі, бо 22n зростає повільніше, ніж 2ⁿ
  4. DТак, бо сталі множники в показнику степеня в нотації «велике O» завжди ігноруються
3.Структури данихСередня

Скільки пам'яті займає матриця суміжності графа з V вершинами?

  1. AO(V²)
  2. BO(E)
  3. CO(V + E)
  4. DO(log V)
4.Структури данихСкладна

Для чого використовують структуру union-find в алгоритмі Краскала для мінімального кістякового дерева?

  1. AЩоб зберігати поточну відстань кожної вершини від джерела під час пошуку
  2. BЩоб перевірити, чи вже з'єднані два кінці ребра
  3. CЩоб відсортувати ребра за вагою
  4. DЩоб обрати початкову вершину
5.Теорія графівСередня
ABCDEЕйлерів циклЕйлерів шлях, не циклжодна з цих

Чи має зв’язний граф ейлерів цикл, ейлерів шлях, що не є циклом, чи нічого з цього? Клікніть свою відповідь.

|V| = 5|E| = 5
  1. 1Ейлерів цикл
  2. 2Ейлерів шлях, не цикл
  3. 3жодна з цих
6.Теорія графівСкладна
91458129568125ABCDEFG

Скористайтеся алгоритмом Дейкстри, щоб знайти довжину d(F) найкоротшого шляху від A до F у зваженому графі.

початок: Aкінець: F
d(F) =

3Розчини

1.Алгоритми та складність

Відповідь: B · Він вирощує одне дерево від початкової вершини, додаючи найдешевше ребро, що виходить із дерева

Чому це відповідь

Алгоритм Прима з чергою з пріоритетами для ребер, що перетинають розріз, працює за O(E log V) із бінарною купою.

Відповідь

B · Він вирощує одне дерево від початкової вершини, додаючи найдешевше ребро, що виходить із дерева
2.Алгоритми та складність

Відповідь: A · Ні, бо 22n = 4ⁿ, а 4ⁿ / 2ⁿ = 2ⁿ зростає необмежено

Чому це відповідь

Стала, додана до показника, дає сталий множник, але стала, що множить показник, змінює основу й швидкість зростання.

Відповідь

A · Ні, бо 22n = 4ⁿ, а 4ⁿ / 2ⁿ = 2ⁿ зростає необмежено
3.Структури даних

Відповідь: A · O(V²)

Чому це відповідь

Матриця суміжності зберігає V × V елементів, що ефективно для щільних графів; списки суміжності займають O(V + E) і краще підходять для розріджених графів.

Відповідь

A · O(V²)
4.Структури даних

Відповідь: B · Щоб перевірити, чи вже з'єднані два кінці ребра

Чому це відповідь

Find показує, чи обидва кінці в одній компоненті; якщо ні, ребро додається, а union об'єднує компоненти.

Відповідь

B · Щоб перевірити, чи вже з'єднані два кінці ребра
5.Теорія графів

Відповідь: Ейлерів цикл

Ейлер, Гамільтон і дерева: зв’язний граф має ейлерів цикл (кожне ребро один раз, з поверненням до початку), коли кожна вершина має парний степінь, і ейлерів шлях, що не є циклом, коли рівно дві вершини мають непарний степінь; тоді шлях іде від однієї непарної вершини до другої. Гамільтонів цикл відвідує кожну вершину один раз; у Kn їх (n − 1)!/2. Дерево на n вершинах має n − 1 ребро, а зв’язний граф з m ребрами зберігає остовне дерево після вилучення m − n + 1 ребер.

Степені

deg(A) = 2, deg(B) = 2, deg(C) = 2, deg(D) = 2, deg(E) = 2

Непарні вершини

0
Ейлерів цикл

Відповідь

Ейлерів цикл
6.Теорія графів

Відповідь: d(F) = 23

Найкоротші шляхи та остовні дерева: алгоритм Дейкстри фіксує одну вершину за раунд: незафіксовану вершину з найменшою попередньою відстанню. Її відстань тоді остаточна, а кожен сусід v отримує d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Алгоритм Крускала будує мінімальне остовне дерево, беручи ребра від легких до важких і пропускаючи кожне ребро, що замкнуло б цикл; алгоритм Пріма нарощує одне дерево від початкової вершини, завжди додаючи найлегше ребро, що виходить з нього. Остовне дерево з n вершин має n − 1 ребро.

Алгоритм Дейкстри раунд за раундом

Кожен рядок: зафіксована вершина, її остаточна відстань і сусіди, чия відстань покращується.

A (0): B: 9, C: 14
B (9): D: 14, G: 15
C (14): E: 22
D (14): F: 23
G (15): E: 20
E (20)
F (23)

Найкоротший шлях

A → B → D → F
d(F) = 23

Відповідь

d(F) = 23

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms