Алгоритми та структури даних: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 6 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачіНазад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Теорія графів

Лема про рукостискання
Σ deg(v) = 2|E|
Повні графи
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Регулярний граф
|E| = n·k/2
Дерево і ліс
|E| = n − 1, |E| = n − c
Листки дерева
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Ейлер
цикл: усі степені парні; шлях: рівно 2 непарні степені
Гамільтонові цикли в Kn
(n − 1)!/2
Оновлення в алгоритмі Дейкстри
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Маршрути довжиною L
(Mᴸ)ij

Метод

  1. Випишіть степінь кожної вершини; сума степенів дорівнює подвоєній кількості ребер.
  2. У задачах про Ейлера перевірте, що граф зв’язний, і порахуйте вершини з непарним степенем.
  3. Для дерев використовуйте n − 1 ребро та лему про рукостискання.
  4. Для алгоритму Дейкстри ведіть таблицю попередніх відстаней і щоразу фіксуйте незафіксовану вершину з найменшою відстанню.
  5. Для мінімального остовного дерева відсортуйте ребра за вагою й пропускайте кожне ребро, що замикає цикл (Крускал), або нарощуйте одне дерево від початкової вершини (Прім).

2Задачі для практики

1.Алгоритми та складністьСередня

Яка часова складність: for i = 1 to n: (j = 1; while j < n: j = j × 2)?

  1. AO(n log n)
  2. BO(n)
  3. CO(n²)
  4. DO(log n)
2.Алгоритми та складністьСкладна

Що випливало б, якби хтось знайшов поліноміальний алгоритм для однієї NP-повної задачі?

  1. AЛише ця одна задача перейшла б до P
  2. BПроблема зупинки стала б розв'язною
  3. CУсі алгоритми з експоненційним часом негайно стали б працювати за лінійний час
  4. DКожну задачу з NP можна було б розв'язати за поліноміальний час, тож P = NP
3.Структури данихСередня

Що відбувається, коли геш-таблиця виконує повторне гешування (rehash) після того, як коефіцієнт заповнення перевищив поріг?

  1. AНайстаріші ключі видаляються, щоб звільнити місце
  2. BЛише ключі з колізіями переміщуються в новий список переповнення в кінці таблиці
  3. CНаявні ключі сортуються на місці
  4. DВиділяється більша таблиця, і кожен ключ вставляється знову
4.Структури данихСкладна

Чому зі стандартного фільтра Блума не можна просто видаляти елементи, очищаючи їхні біти?

  1. AЦі біти можуть належати й іншим елементам, що спричинило б хибнонегативні результати
  2. BВидалення підвищило б частку хибнопозитивних результатів до 100%
  3. CФільтри Блума зберігають повні елементи, і після гешування їх неможливо знайти знову
  4. DБіти у фільтрі Блума не можна змінювати після створення
5.Теорія графівСередня

Зв’язний граф має 15 вершин і 16 ребер. Скільки ребер k треба вилучити, щоб залишилося остовне дерево?

|V| = 15|E| = 16
k =
6.Теорія графівСкладна
2012179417ABCDE

Знайдіть загальну вагу W мінімального остовного дерева зваженого графа.

|V| = 5|E| = 7
W =

3Розчини

1.Алгоритми та складність

Відповідь: A · O(n log n)

Чому це відповідь

Внутрішній цикл виконується близько log₂ n разів для кожної з n зовнішніх ітерацій, що дає O(n log n).

Відповідь

A · O(n log n)
2.Алгоритми та складність

Відповідь: D · Кожну задачу з NP можна було б розв'язати за поліноміальний час, тож P = NP

Чому це відповідь

Оскільки весь клас NP зводиться до будь-якої NP-повної задачі за поліноміальний час, швидкий алгоритм для однієї дає швидкий алгоритм для всіх.

Відповідь

D · Кожну задачу з NP можна було б розв'язати за поліноміальний час, тож P = NP
3.Структури даних

Відповідь: D · Виділяється більша таблиця, і кожен ключ вставляється знову

Чому це відповідь

Оскільки індекс обчислюється за модулем розміру таблиці, усі ключі треба повторно гешувати в нову, більшу таблицю; за подвоєння розміру це залишається O(1) амортизовано.

Відповідь

D · Виділяється більша таблиця, і кожен ключ вставляється знову
4.Структури даних

Відповідь: A · Ці біти можуть належати й іншим елементам, що спричинило б хибнонегативні результати

Чому це відповідь

Очищення спільного біта зробило б інший елемент нібито відсутнім; лічильні фільтри Блума замість бітів зберігають лічильники, щоб дозволити видалення.

Відповідь

A · Ці біти можуть належати й іншим елементам, що спричинило б хибнонегативні результати
5.Теорія графів

Відповідь: k = 2

Ейлер, Гамільтон і дерева: зв’язний граф має ейлерів цикл (кожне ребро один раз, з поверненням до початку), коли кожна вершина має парний степінь, і ейлерів шлях, що не є циклом, коли рівно дві вершини мають непарний степінь; тоді шлях іде від однієї непарної вершини до другої. Гамільтонів цикл відвідує кожну вершину один раз; у Kn їх (n − 1)!/2. Дерево на n вершинах має n − 1 ребро, а зв’язний граф з m ребрами зберігає остовне дерево після вилучення m − n + 1 ребер.

Ребра остовного дерева

15 − 1 = 14

Ребра для вилучення

k = 16 − 14 = 2

Відповідь

k = 2
6.Теорія графів

Відповідь: W = 24

Найкоротші шляхи та остовні дерева: алгоритм Дейкстри фіксує одну вершину за раунд: незафіксовану вершину з найменшою попередньою відстанню. Її відстань тоді остаточна, а кожен сусід v отримує d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Алгоритм Крускала будує мінімальне остовне дерево, беручи ребра від легких до важких і пропускаючи кожне ребро, що замкнуло б цикл; алгоритм Пріма нарощує одне дерево від початкової вершини, завжди додаючи найлегше ребро, що виходить з нього. Остовне дерево з n вершин має n − 1 ребро.

Алгоритм Крускала

DE (1): взяти
CE (4): взяти
BE (7): взяти
BD (9): пропустити, замикає цикл
AC (12): взяти

Загальна вага

W = 1 + 4 + 7 + 12 = 24

Відповідь

W = 24

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms