Алгоритми та структури даних: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 6 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачіНазад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Теорія графів

Лема про рукостискання
Σ deg(v) = 2|E|
Повні графи
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Регулярний граф
|E| = n·k/2
Дерево і ліс
|E| = n − 1, |E| = n − c
Листки дерева
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Ейлер
цикл: усі степені парні; шлях: рівно 2 непарні степені
Гамільтонові цикли в Kn
(n − 1)!/2
Оновлення в алгоритмі Дейкстри
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Маршрути довжиною L
(Mᴸ)ij

Метод

  1. Випишіть степінь кожної вершини; сума степенів дорівнює подвоєній кількості ребер.
  2. У задачах про Ейлера перевірте, що граф зв’язний, і порахуйте вершини з непарним степенем.
  3. Для дерев використовуйте n − 1 ребро та лему про рукостискання.
  4. Для алгоритму Дейкстри ведіть таблицю попередніх відстаней і щоразу фіксуйте незафіксовану вершину з найменшою відстанню.
  5. Для мінімального остовного дерева відсортуйте ребра за вагою й пропускайте кожне ребро, що замикає цикл (Крускал), або нарощуйте одне дерево від початкової вершини (Прім).

2Задачі для практики

1.Алгоритми та складністьСередня

Яка часова складність швидкого сортування (quicksort) у найгіршому випадку?

  1. AO(n²)
  2. BO(n log n)
  3. CO(log n)
  4. DO(n)
2.Алгоритми та складністьСкладна

Які часові та просторові витрати обчислення n-го числа Фібоначчі циклом, що зберігає лише два останні значення?

  1. AO(log n) часу та O(n) пам'яті
  2. BO(n) часу та O(n) пам'яті
  3. CO(n) часу та O(1) пам'яті
  4. DO(2ⁿ) часу та O(1) пам'яті
3.Структури данихСередня

Скільки пам'яті займає матриця суміжності графа з V вершинами?

  1. AO(E)
  2. BO(V + E)
  3. CO(V²)
  4. DO(log V)
4.Структури данихСкладна

Потрібно зберігати k найменших значень із потоку n чисел, використовуючи O(k) пам'яті. Який підхід працює за час O(n log k)?

  1. AМакс-купа розміру k, корінь якої замінюють, коли надходить менше значення
  2. BЧерга FIFO з останніх k значень
  3. CВідсортований масив усіх n значень
  4. DМін-купа, що містить усі n значень, з якої наприкінці вилучають k найменших
5.Теорія графівСередня

Зв’язний граф має 17 вершин і 22 ребер. Скільки ребер k треба вилучити, щоб залишилося остовне дерево?

|V| = 17|E| = 22
k =
6.Теорія графівСкладна
9521513921ABCDEF

Алгоритм Дейкстри працює від A. Клікніть вершину, яку фіксують (роблять остаточною) у раунді 5; сама A — це раунд 1.

початок: Aраунд 5
  1. 1A
  2. 2B
  3. 3C
  4. 4D
  5. 5E
  6. 6F

3Розчини

1.Алгоритми та складність

Відповідь: A · O(n²)

Чому це відповідь

За постійно невдалого вибору опорних елементів (наприклад, уже відсортовані дані й перший елемент як опорний) розбиття незбалансовані, що дає O(n²). У середньому випадку складність становить O(n log n).

Відповідь

A · O(n²)
2.Алгоритми та складність

Відповідь: C · O(n) часу та O(1) пам'яті

Чому це відповідь

Кожному крокові потрібні лише два попередні значення, тож таблицю методу «знизу вгору» можна замінити двома змінними.

Відповідь

C · O(n) часу та O(1) пам'яті
3.Структури даних

Відповідь: C · O(V²)

Чому це відповідь

Матриця суміжності зберігає V × V елементів, що ефективно для щільних графів; списки суміжності займають O(V + E) і краще підходять для розріджених графів.

Відповідь

C · O(V²)
4.Структури даних

Відповідь: A · Макс-купа розміру k, корінь якої замінюють, коли надходить менше значення

Чому це відповідь

Корінь макс-купи — найбільше збережене значення; будь-яке менше нове значення замінює його за O(log k), тож купа завжди містить k найменших значень на цей момент.

Відповідь

A · Макс-купа розміру k, корінь якої замінюють, коли надходить менше значення
5.Теорія графів

Відповідь: k = 6

Ейлер, Гамільтон і дерева: зв’язний граф має ейлерів цикл (кожне ребро один раз, з поверненням до початку), коли кожна вершина має парний степінь, і ейлерів шлях, що не є циклом, коли рівно дві вершини мають непарний степінь; тоді шлях іде від однієї непарної вершини до другої. Гамільтонів цикл відвідує кожну вершину один раз; у Kn їх (n − 1)!/2. Дерево на n вершинах має n − 1 ребро, а зв’язний граф з m ребрами зберігає остовне дерево після вилучення m − n + 1 ребер.

Ребра остовного дерева

17 − 1 = 16

Ребра для вилучення

k = 22 − 16 = 6

Відповідь

k = 6
6.Теорія графів

Відповідь: F

Найкоротші шляхи та остовні дерева: алгоритм Дейкстри фіксує одну вершину за раунд: незафіксовану вершину з найменшою попередньою відстанню. Її відстань тоді остаточна, а кожен сусід v отримує d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Алгоритм Крускала будує мінімальне остовне дерево, беручи ребра від легких до важких і пропускаючи кожне ребро, що замкнуло б цикл; алгоритм Пріма нарощує одне дерево від початкової вершини, завжди додаючи найлегше ребро, що виходить з нього. Остовне дерево з n вершин має n − 1 ребро.

Алгоритм Дейкстри раунд за раундом

1. A (0): B: 9, C: 5
2. C (5): B: 7, E: 18
3. B (7): D: 22, E: 8
4. E (8): F: 10
5. F (10): D: 19
6. D (19)

раунд 5

F

Відповідь

F

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms