Алгоритми та структури даних: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 6 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачіНазад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Теорія графів

Лема про рукостискання
Σ deg(v) = 2|E|
Повні графи
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Регулярний граф
|E| = n·k/2
Дерево і ліс
|E| = n − 1, |E| = n − c
Листки дерева
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Ейлер
цикл: усі степені парні; шлях: рівно 2 непарні степені
Гамільтонові цикли в Kn
(n − 1)!/2
Оновлення в алгоритмі Дейкстри
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Маршрути довжиною L
(Mᴸ)ij

Метод

  1. Випишіть степінь кожної вершини; сума степенів дорівнює подвоєній кількості ребер.
  2. У задачах про Ейлера перевірте, що граф зв’язний, і порахуйте вершини з непарним степенем.
  3. Для дерев використовуйте n − 1 ребро та лему про рукостискання.
  4. Для алгоритму Дейкстри ведіть таблицю попередніх відстаней і щоразу фіксуйте незафіксовану вершину з найменшою відстанню.
  5. Для мінімального остовного дерева відсортуйте ребра за вагою й пропускайте кожне ребро, що замикає цикл (Крускал), або нарощуйте одне дерево від початкової вершини (Прім).

2Задачі для практики

1.Алгоритми та складністьСередня

Яка часова складність алгоритму Беллмана–Форда на графі з V вершинами та E ребрами?

  1. AO(V × E)
  2. BO(E log V)
  3. CO(V³ × E)
  4. DO(V + E)
2.Алгоритми та складністьСкладна

Як співвідносяться n! і 2ⁿ для великих n?

  1. An! зростає швидше, ніж 2ⁿ
  2. B2ⁿ зростає швидше, ніж n!
  3. CВони зростають з однаковою швидкістю
  4. Dn! є O(n²)
3.Структури данихСередня

Де розташований батько вузла з індексом i в бінарній купі, що зберігається в масиві з індексацією від 0?

  1. AВ індексі 2i + 1
  2. BВ індексі i − 1
  3. CВ індексі ⌊(i − 1) / 2⌋
  4. DВ індексі ⌊i / 2⌋ + 1
4.Структури данихСкладна

Чим radix-дерево (стиснене префіксне дерево) краще за звичайне trie?

  1. AВоно об'єднує ланцюжки вузлів з однією дитиною в одне ребро, позначене рядком
  2. BВоно сортує дітей кожного вузла за частотою
  3. CВоно зберігає лише першу літеру кожного слова
  4. DВоно зберігає кожне слово в геш-таблиці в корені замість окремих вузлів
5.Теорія графівСередня

Зв’язний граф має 18 вершин і 28 ребер. Скільки ребер k треба вилучити, щоб залишилося остовне дерево?

|V| = 18|E| = 28
k =
6.Теорія графівСкладна
101344145915ABCDEFG

Алгоритм Дейкстри працює від A. Клікніть вершину, яку фіксують (роблять остаточною) у раунді 4; сама A — це раунд 1.

початок: Aраунд 4
  1. 1A
  2. 2B
  3. 3C
  4. 4D
  5. 5E
  6. 6F
  7. 7G

3Розчини

1.Алгоритми та складність

Відповідь: A · O(V × E)

Чому це відповідь

Кожен із V − 1 раундів релаксує всі E ребер, що дає O(VE); натомість він працює з від'ємними вагами ребер.

Відповідь

A · O(V × E)
2.Алгоритми та складність

Відповідь: A · n! зростає швидше, ніж 2ⁿ

Чому це відповідь

Для n ≥ 4 n! перевищує 2ⁿ, і відношення зростає необмежено, бо кожен додатковий множник n! більший за 2.

Відповідь

A · n! зростає швидше, ніж 2ⁿ
3.Структури даних

Відповідь: C · В індексі ⌊(i − 1) / 2⌋

Чому це відповідь

Діти i розташовані в 2i + 1 і 2i + 2, тож батько i — це ⌊(i − 1) / 2⌋; за індексації від 1 це ⌊i / 2⌋.

Відповідь

C · В індексі ⌊(i − 1) / 2⌋
4.Структури даних

Відповідь: A · Воно об'єднує ланцюжки вузлів з однією дитиною в одне ребро, позначене рядком

Чому це відповідь

Стискання шляхів без розгалужень зменшує кількість вузлів і використану пам'ять, зберігаючи пошук за префіксом.

Відповідь

A · Воно об'єднує ланцюжки вузлів з однією дитиною в одне ребро, позначене рядком
5.Теорія графів

Відповідь: k = 11

Ейлер, Гамільтон і дерева: зв’язний граф має ейлерів цикл (кожне ребро один раз, з поверненням до початку), коли кожна вершина має парний степінь, і ейлерів шлях, що не є циклом, коли рівно дві вершини мають непарний степінь; тоді шлях іде від однієї непарної вершини до другої. Гамільтонів цикл відвідує кожну вершину один раз; у Kn їх (n − 1)!/2. Дерево на n вершинах має n − 1 ребро, а зв’язний граф з m ребрами зберігає остовне дерево після вилучення m − n + 1 ребер.

Ребра остовного дерева

18 − 1 = 17

Ребра для вилучення

k = 28 − 17 = 11

Відповідь

k = 11
6.Теорія графів

Відповідь: B

Найкоротші шляхи та остовні дерева: алгоритм Дейкстри фіксує одну вершину за раунд: незафіксовану вершину з найменшою попередньою відстанню. Її відстань тоді остаточна, а кожен сусід v отримує d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Алгоритм Крускала будує мінімальне остовне дерево, беручи ребра від легких до важких і пропускаючи кожне ребро, що замкнуло б цикл; алгоритм Пріма нарощує одне дерево від початкової вершини, завжди додаючи найлегше ребро, що виходить з нього. Остовне дерево з n вершин має n − 1 ребро.

Алгоритм Дейкстри раунд за раундом

1. A (0): C: 10
2. C (10): B: 23, G: 15
3. G (15): B: 19, D: 24, E: 30
4. B (19): D: 23
5. D (23): E: 27
6. E (27): F: 28
7. F (28)

раунд 4

B

Відповідь

B

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms