Алгоритми та структури даних: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 6 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачіНазад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Теорія графів

Лема про рукостискання
Σ deg(v) = 2|E|
Повні графи
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Регулярний граф
|E| = n·k/2
Дерево і ліс
|E| = n − 1, |E| = n − c
Листки дерева
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Ейлер
цикл: усі степені парні; шлях: рівно 2 непарні степені
Гамільтонові цикли в Kn
(n − 1)!/2
Оновлення в алгоритмі Дейкстри
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Маршрути довжиною L
(Mᴸ)ij

Метод

  1. Випишіть степінь кожної вершини; сума степенів дорівнює подвоєній кількості ребер.
  2. У задачах про Ейлера перевірте, що граф зв’язний, і порахуйте вершини з непарним степенем.
  3. Для дерев використовуйте n − 1 ребро та лему про рукостискання.
  4. Для алгоритму Дейкстри ведіть таблицю попередніх відстаней і щоразу фіксуйте незафіксовану вершину з найменшою відстанню.
  5. Для мінімального остовного дерева відсортуйте ребра за вагою й пропускайте кожне ребро, що замикає цикл (Крускал), або нарощуйте одне дерево від початкової вершини (Прім).

2Задачі для практики

1.Алгоритми та складністьСередня

Маючи монети номіналом 1, 3 і 4 та суму 6, скільки монет використовує жадібний метод «спершу найбільша монета» порівняно з оптимумом?

  1. AЖадібний використовує 3 монети; оптимум — 2
  2. BЖадібний використовує 4 монети; оптимум — 3
  3. CЖадібний використовує 2 монети; оптимум — 2
  4. DЖадібний використовує 3 монети; оптимум — 3
2.Алгоритми та складністьСкладна

Що випливало б, якби хтось знайшов поліноміальний алгоритм для однієї NP-повної задачі?

  1. AКожну задачу з NP можна було б розв'язати за поліноміальний час, тож P = NP
  2. BЛише ця одна задача перейшла б до P
  3. CПроблема зупинки стала б розв'язною
  4. DУсі алгоритми з експоненційним часом негайно стали б працювати за лінійний час
3.Структури данихСередня

Вузол бінарного дерева пошуку має праве піддерево. Де розташований його наступник у симетричному порядку (in-order successor)?

  1. AЗавжди його права дитина
  2. BКрайній лівий вузол його правого піддерева
  3. CЗавжди його батько
  4. DКрайній правий вузол його лівого піддерева
4.Структури данихСкладна

Динамічний масив подвоюється, коли заповнюється. Чому багато реалізацій зменшують його лише тоді, коли він заповнений на чверть, а не наполовину?

  1. AЩоб уникнути повторних змін розміру, коли push і pop чергуються біля межі
  2. BЩоб масив залишався відсортованим
  3. CБо зменшення вдвічі за половинного заповнення призвело б до втрати елементів
  4. DБо розподілювач пам'яті може звільняти пам'ять лише чвертями блока
5.Теорія графівСередня

Скільки різних гамільтонових циклів H має повний граф K6? Цикли, що відрізняються лише початковою вершиною чи напрямком, вважаються однаковими.

K6
H =
6.Теорія графівСкладна
7813111061612ABCDEFG

Скористайтеся алгоритмом Дейкстри, щоб знайти довжину d(F) найкоротшого шляху від A до F у зваженому графі.

початок: Aкінець: F
d(F) =

3Розчини

1.Алгоритми та складність

Відповідь: A · Жадібний використовує 3 монети; оптимум — 2

Чому це відповідь

Жадібний метод бере 4 + 1 + 1 = 3 монети, але 3 + 3 — лише 2, тож для цієї системи монет жадібний метод не оптимальний; оптимальне динамічне програмування.

Відповідь

A · Жадібний використовує 3 монети; оптимум — 2
2.Алгоритми та складність

Відповідь: A · Кожну задачу з NP можна було б розв'язати за поліноміальний час, тож P = NP

Чому це відповідь

Оскільки весь клас NP зводиться до будь-якої NP-повної задачі за поліноміальний час, швидкий алгоритм для однієї дає швидкий алгоритм для всіх.

Відповідь

A · Кожну задачу з NP можна було б розв'язати за поліноміальний час, тож P = NP
3.Структури даних

Відповідь: B · Крайній лівий вузол його правого піддерева

Чому це відповідь

Усі більші ключі, близькі до вузла, розташовані в його правому піддереві, а найменший із них — це крайній лівий вузол там.

Відповідь

B · Крайній лівий вузол його правого піддерева
4.Структури даних

Відповідь: A · Щоб уникнути повторних змін розміру, коли push і pop чергуються біля межі

Чому це відповідь

Зменшення при половинному заповненні могло б запускати зміну розміру на кожній операції такої послідовності; проміжок між 1/4 і повним заповненням зберігає амортизовану вартість O(1).

Відповідь

A · Щоб уникнути повторних змін розміру, коли push і pop чергуються біля межі
5.Теорія графів

Відповідь: H = 60

Ейлер, Гамільтон і дерева: зв’язний граф має ейлерів цикл (кожне ребро один раз, з поверненням до початку), коли кожна вершина має парний степінь, і ейлерів шлях, що не є циклом, коли рівно дві вершини мають непарний степінь; тоді шлях іде від однієї непарної вершини до другої. Гамільтонів цикл відвідує кожну вершину один раз; у Kn їх (n − 1)!/2. Дерево на n вершинах має n − 1 ребро, а зв’язний граф з m ребрами зберігає остовне дерево після вилучення m − n + 1 ребер.

Порахуйте

H = (6 − 1)!/2 = 120/2 = 60

Відповідь

H = 60
6.Теорія графів

Відповідь: d(F) = 25

Найкоротші шляхи та остовні дерева: алгоритм Дейкстри фіксує одну вершину за раунд: незафіксовану вершину з найменшою попередньою відстанню. Її відстань тоді остаточна, а кожен сусід v отримує d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Алгоритм Крускала будує мінімальне остовне дерево, беручи ребра від легких до важких і пропускаючи кожне ребро, що замкнуло б цикл; алгоритм Пріма нарощує одне дерево від початкової вершини, завжди додаючи найлегше ребро, що виходить з нього. Остовне дерево з n вершин має n − 1 ребро.

Алгоритм Дейкстри раунд за раундом

Кожен рядок: зафіксована вершина, її остаточна відстань і сусіди, чия відстань покращується.

A (0): C: 7
C (7): B: 15, G: 8
G (8): B: 14, D: 14, E: 20
B (14)
D (14): F: 25
E (20)
F (25)

Найкоротший шлях

A → C → G → D → F
d(F) = 25

Відповідь

d(F) = 25

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms