Алгоритми та структури даних: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 6 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачіНазад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Теорія графів

Лема про рукостискання
Σ deg(v) = 2|E|
Повні графи
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Регулярний граф
|E| = n·k/2
Дерево і ліс
|E| = n − 1, |E| = n − c
Листки дерева
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Ейлер
цикл: усі степені парні; шлях: рівно 2 непарні степені
Гамільтонові цикли в Kn
(n − 1)!/2
Оновлення в алгоритмі Дейкстри
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Маршрути довжиною L
(Mᴸ)ij

Метод

  1. Випишіть степінь кожної вершини; сума степенів дорівнює подвоєній кількості ребер.
  2. У задачах про Ейлера перевірте, що граф зв’язний, і порахуйте вершини з непарним степенем.
  3. Для дерев використовуйте n − 1 ребро та лему про рукостискання.
  4. Для алгоритму Дейкстри ведіть таблицю попередніх відстаней і щоразу фіксуйте незафіксовану вершину з найменшою відстанню.
  5. Для мінімального остовного дерева відсортуйте ребра за вагою й пропускайте кожне ребро, що замикає цикл (Крускал), або нарощуйте одне дерево від початкової вершини (Прім).

2Задачі для практики

1.Алгоритми та складністьСередня

Який час виконання порозрядного сортування LSD для n цілих чисел із d цифрами в системі числення з основою k?

  1. AO(d(n + k))
  2. BO(n log n)
  3. CO(dn log k)
  4. DO(n²)
2.Алгоритми та складністьСкладна

Топологічне сортування можливе лише для:

  1. AОрієнтованих ациклічних графів
  2. BНеорієнтованих графів
  3. CПовних графів
  4. DГрафів із від'ємними вагами
3.Структури данихСередня

Ви маєте посилання на вузол у середині списку. У якому списку його можна видалити за O(1)?

  1. AУ двозв'язному списку
  2. BУ відсортованому масиві
  3. CУ динамічному масиві
  4. DВ однозв'язному списку
4.Структури данихСкладна

Чому в геш-таблиці з відкритою адресацією видалення часто виконують за допомогою позначки «надгробок» (tombstone)?

  1. AЦе робить таблицю відсортованою
  2. BВидалені ключі треба зберігати назавжди з міркувань безпеки, тож комірки ніколи не можна використати повторно
  3. CНадгробки пришвидшують гешування
  4. DЗвільнення комірки могло б розірвати послідовність зондування для інших ключів
5.Теорія графівСередня
ABCDEFЕйлерів циклЕйлерів шлях, не циклжодна з цих

Чи має зв’язний граф ейлерів цикл, ейлерів шлях, що не є циклом, чи нічого з цього? Клікніть свою відповідь.

|V| = 6|E| = 6
  1. 1Ейлерів цикл
  2. 2Ейлерів шлях, не цикл
  3. 3жодна з цих
6.Теорія графівСкладна
1541921114415434ABCDEFG

Скористайтеся алгоритмом Дейкстри, щоб знайти довжину d(G) найкоротшого шляху від A до G у зваженому графі.

початок: Aкінець: G
d(G) =

3Розчини

1.Алгоритми та складність

Відповідь: A · O(d(n + k))

Чому це відповідь

Кожен із d проходів — сортування підрахунком вартістю O(n + k), тож для фіксованих d і k загальна складність лінійна за n.

Відповідь

A · O(d(n + k))
2.Алгоритми та складність

Відповідь: A · Орієнтованих ациклічних графів

Чому це відповідь

Топологічний порядок існує тоді й лише тоді, коли орієнтований граф не має циклів; його можна знайти за O(V + E) за допомогою DFS або алгоритму Кана.

Відповідь

A · Орієнтованих ациклічних графів
3.Структури даних

Відповідь: A · У двозв'язному списку

Чому це відповідь

Вузол двозв'язного списку знає свого попередника, тож можна безпосередньо перев'язати prev і next; в однозв'язному списку попередника доводиться шукати.

Відповідь

A · У двозв'язному списку
4.Структури даних

Відповідь: D · Звільнення комірки могло б розірвати послідовність зондування для інших ключів

Чому це відповідь

Якби видалена комірка стала порожньою, подальші пошуки могли б зупинитися зарано й пропустити ключі, розміщені далі в ланцюжку зондування.

Відповідь

D · Звільнення комірки могло б розірвати послідовність зондування для інших ключів
5.Теорія графів

Відповідь: жодна з цих

Ейлер, Гамільтон і дерева: зв’язний граф має ейлерів цикл (кожне ребро один раз, з поверненням до початку), коли кожна вершина має парний степінь, і ейлерів шлях, що не є циклом, коли рівно дві вершини мають непарний степінь; тоді шлях іде від однієї непарної вершини до другої. Гамільтонів цикл відвідує кожну вершину один раз; у Kn їх (n − 1)!/2. Дерево на n вершинах має n − 1 ребро, а зв’язний граф з m ребрами зберігає остовне дерево після вилучення m − n + 1 ребер.

Степені

deg(A) = 2, deg(B) = 3, deg(C) = 2, deg(D) = 3, deg(E) = 1, deg(F) = 1

Непарні вершини

B, D, E, F → 4
жодна з цих

Відповідь

жодна з цих
6.Теорія графів

Відповідь: d(G) = 8

Найкоротші шляхи та остовні дерева: алгоритм Дейкстри фіксує одну вершину за раунд: незафіксовану вершину з найменшою попередньою відстанню. Її відстань тоді остаточна, а кожен сусід v отримує d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Алгоритм Крускала будує мінімальне остовне дерево, беручи ребра від легких до важких і пропускаючи кожне ребро, що замкнуло б цикл; алгоритм Пріма нарощує одне дерево від початкової вершини, завжди додаючи найлегше ребро, що виходить з нього. Остовне дерево з n вершин має n − 1 ребро.

Алгоритм Дейкстри раунд за раундом

Кожен рядок: зафіксована вершина, її остаточна відстань і сусіди, чия відстань покращується.

A (0): B: 15, C: 4
C (4): B: 5, E: 6, G: 8
B (5): D: 14
E (6): F: 10
G (8): D: 11
F (10)
D (11)

Найкоротший шлях

A → C → G
d(G) = 8

Відповідь

d(G) = 8

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms