Алгоритми та структури даних: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 6 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачіНазад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Теорія графів

Лема про рукостискання
Σ deg(v) = 2|E|
Повні графи
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Регулярний граф
|E| = n·k/2
Дерево і ліс
|E| = n − 1, |E| = n − c
Листки дерева
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Ейлер
цикл: усі степені парні; шлях: рівно 2 непарні степені
Гамільтонові цикли в Kn
(n − 1)!/2
Оновлення в алгоритмі Дейкстри
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Маршрути довжиною L
(Mᴸ)ij

Метод

  1. Випишіть степінь кожної вершини; сума степенів дорівнює подвоєній кількості ребер.
  2. У задачах про Ейлера перевірте, що граф зв’язний, і порахуйте вершини з непарним степенем.
  3. Для дерев використовуйте n − 1 ребро та лему про рукостискання.
  4. Для алгоритму Дейкстри ведіть таблицю попередніх відстаней і щоразу фіксуйте незафіксовану вершину з найменшою відстанню.
  5. Для мінімального остовного дерева відсортуйте ребра за вагою й пропускайте кожне ребро, що замикає цикл (Крускал), або нарощуйте одне дерево від початкової вершини (Прім).

2Задачі для практики

1.Алгоритми та складністьСередня

Як алгоритм Прима будує мінімальне кістякове дерево?

  1. AВін видаляє найдорожче ребро, доки не залишиться циклів
  2. BВін сортує всі ребра за вагою й додає кожне, окрім тих, що утворили б цикл у лісі
  3. CВін вирощує одне дерево від початкової вершини, додаючи найдешевше ребро, що виходить із дерева
  4. DВін запускає пошук у ширину й зберігає дерево BFS
2.Алгоритми та складністьСкладна

Як співвідносяться n! і 2ⁿ для великих n?

  1. AВони зростають з однаковою швидкістю
  2. B2ⁿ зростає швидше, ніж n!
  3. Cn! є O(n²)
  4. Dn! зростає швидше, ніж 2ⁿ
3.Структури данихСередня

Скільки часу потрібно, щоб перевірити наявність ребра (u, v) за допомогою матриці суміжності?

  1. AO(E)
  2. BO(V)
  3. CO(1)
  4. DO(log V)
4.Структури данихСкладна

Чим radix-дерево (стиснене префіксне дерево) краще за звичайне trie?

  1. AВоно об'єднує ланцюжки вузлів з однією дитиною в одне ребро, позначене рядком
  2. BВоно сортує дітей кожного вузла за частотою
  3. CВоно зберігає лише першу літеру кожного слова
  4. DВоно зберігає кожне слово в геш-таблиці в корені замість окремих вузлів
5.Теорія графівСередня

Дерево має 2 вершин степеня 3, 2 вершин степеня 2, а всі його інші вершини — листки (степінь 1). Скільки листків L воно має?

2 × deg 32 × deg 2
L =
6.Теорія графівСкладна
143482247ABCDEF

Скористайтеся алгоритмом Дейкстри, щоб знайти довжину d(E) найкоротшого шляху від A до E у зваженому графі.

початок: Aкінець: E
d(E) =

3Розчини

1.Алгоритми та складність

Відповідь: C · Він вирощує одне дерево від початкової вершини, додаючи найдешевше ребро, що виходить із дерева

Чому це відповідь

Алгоритм Прима з чергою з пріоритетами для ребер, що перетинають розріз, працює за O(E log V) із бінарною купою.

Відповідь

C · Він вирощує одне дерево від початкової вершини, додаючи найдешевше ребро, що виходить із дерева
2.Алгоритми та складність

Відповідь: D · n! зростає швидше, ніж 2ⁿ

Чому це відповідь

Для n ≥ 4 n! перевищує 2ⁿ, і відношення зростає необмежено, бо кожен додатковий множник n! більший за 2.

Відповідь

D · n! зростає швидше, ніж 2ⁿ
3.Структури даних

Відповідь: C · O(1)

Чому це відповідь

Елемент матриці в рядку u, стовпці v одразу показує, чи існує ребро; у списку суміжності може знадобитися переглянути сусідів u.

Відповідь

C · O(1)
4.Структури даних

Відповідь: A · Воно об'єднує ланцюжки вузлів з однією дитиною в одне ребро, позначене рядком

Чому це відповідь

Стискання шляхів без розгалужень зменшує кількість вузлів і використану пам'ять, зберігаючи пошук за префіксом.

Відповідь

A · Воно об'єднує ланцюжки вузлів з однією дитиною в одне ребро, позначене рядком
5.Теорія графів

Відповідь: L = 4

Ейлер, Гамільтон і дерева: зв’язний граф має ейлерів цикл (кожне ребро один раз, з поверненням до початку), коли кожна вершина має парний степінь, і ейлерів шлях, що не є циклом, коли рівно дві вершини мають непарний степінь; тоді шлях іде від однієї непарної вершини до другої. Гамільтонів цикл відвідує кожну вершину один раз; у Kn їх (n − 1)!/2. Дерево на n вершинах має n − 1 ребро, а зв’язний граф з m ребрами зберігає остовне дерево після вилучення m − n + 1 ребер.

Лема про рукостискання для дерева

L + 10 = 2(L + 4) − 2
L = 4

Відповідь

L = 4

Скорочення: L = 2 + Σ (d − 2) за вершинами зі степенем d ≥ 3.

6.Теорія графів

Відповідь: d(E) = 14

Найкоротші шляхи та остовні дерева: алгоритм Дейкстри фіксує одну вершину за раунд: незафіксовану вершину з найменшою попередньою відстанню. Її відстань тоді остаточна, а кожен сусід v отримує d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Алгоритм Крускала будує мінімальне остовне дерево, беручи ребра від легких до важких і пропускаючи кожне ребро, що замкнуло б цикл; алгоритм Пріма нарощує одне дерево від початкової вершини, завжди додаючи найлегше ребро, що виходить з нього. Остовне дерево з n вершин має n − 1 ребро.

Алгоритм Дейкстри раунд за раундом

Кожен рядок: зафіксована вершина, її остаточна відстань і сусіди, чия відстань покращується.

A (0): B: 14, C: 3
C (3): B: 7
B (7): D: 15, E: 14
E (14): F: 18
D (15): F: 17
F (17)

Найкоротший шлях

A → C → B → E
d(E) = 14

Відповідь

d(E) = 14

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms