Алгоритми та структури даних: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 6 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачіНазад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Теорія графів

Лема про рукостискання
Σ deg(v) = 2|E|
Повні графи
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Регулярний граф
|E| = n·k/2
Дерево і ліс
|E| = n − 1, |E| = n − c
Листки дерева
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Ейлер
цикл: усі степені парні; шлях: рівно 2 непарні степені
Гамільтонові цикли в Kn
(n − 1)!/2
Оновлення в алгоритмі Дейкстри
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Маршрути довжиною L
(Mᴸ)ij

Метод

  1. Випишіть степінь кожної вершини; сума степенів дорівнює подвоєній кількості ребер.
  2. У задачах про Ейлера перевірте, що граф зв’язний, і порахуйте вершини з непарним степенем.
  3. Для дерев використовуйте n − 1 ребро та лему про рукостискання.
  4. Для алгоритму Дейкстри ведіть таблицю попередніх відстаней і щоразу фіксуйте незафіксовану вершину з найменшою відстанню.
  5. Для мінімального остовного дерева відсортуйте ребра за вагою й пропускайте кожне ребро, що замикає цикл (Крускал), або нарощуйте одне дерево від початкової вершини (Прім).

2Задачі для практики

1.Алгоритми та складністьСередня

Приблизно скільки порівнянь потребує бінарний пошук у найгіршому випадку на відсортованому масиві з 1,000,000 елементів?

  1. AБлизько 20
  2. BБлизько 1,000
  3. CБлизько 100
  4. DБлизько 500,000
2.Алгоритми та складністьСкладна

Сортування вставками працює за O(n) на відсортованих даних. Чи суперечить це нижній межі Ω(n log n) для сортування порівняннями?

  1. AНі, бо сортування вставками не є сортуванням порівняннями
  2. BТак, але лише для масивів, коротших за 100
  3. CНі, нижня межа стосується найгіршого випадку серед усіх вхідних даних, а не кожних вхідних даних
  4. DТак, отже, нижня межа хибна
3.Структури данихСередня

Чергу реалізовано двома стеками: push у стек «in» і pop зі стека «out», який поповнюють із «in», коли він порожній. Яка амортизована вартість однієї операції?

  1. AO(n)
  2. BO(n²)
  3. CO(1)
  4. DO(log n)
4.Структури данихСкладна

Дерево відрізків (segment tree) зазвичай використовують для:

  1. AЗберігання ребер графа
  2. BРеалізації стека
  3. CСортування рядків за абеткою шляхом зберігання кожного префікса в окремому вузлі дерева
  4. DВідповідей на запити на діапазонах (наприклад, суми діапазонів) та оновлень за O(log n)
5.Теорія графівСередня

Зв’язний граф має 11 вершин і 22 ребер. Скільки ребер k треба вилучити, щоб залишилося остовне дерево?

|V| = 11|E| = 22
k =
6.Теорія графівСкладна
1416913103ABCDEF

Скористайтеся алгоритмом Дейкстри, щоб знайти довжину d(C) найкоротшого шляху від A до C у зваженому графі.

початок: Aкінець: C
d(C) =

3Розчини

1.Алгоритми та складність

Відповідь: A · Близько 20

Чому це відповідь

220 ≈ 1,048,576, тож приблизно після 20 ділень навпіл залишається лише один елемент.

Відповідь

A · Близько 20
2.Алгоритми та складність

Відповідь: C · Ні, нижня межа стосується найгіршого випадку серед усіх вхідних даних, а не кожних вхідних даних

Чому це відповідь

Межа стверджує, що кожне сортування порівняннями потребує близько n log n порівнянь на якихось вхідних даних розміру n; особливі вхідні дані можуть оброблятися значно швидше.

Відповідь

C · Ні, нижня межа стосується найгіршого випадку серед усіх вхідних даних, а не кожних вхідних даних
3.Структури даних

Відповідь: C · O(1)

Чому це відповідь

Кожен елемент загалом заноситься й виймається щонайбільше двічі, тож хоча одне поповнення може тривати O(n), середня вартість для послідовності операцій становить O(1).

Відповідь

C · O(1)
4.Структури даних

Відповідь: D · Відповідей на запити на діапазонах (наприклад, суми діапазонів) та оновлень за O(log n)

Чому це відповідь

Дерево відрізків зберігає агрегати для проміжків, підтримуючи запити на діапазонах і точкові оновлення за час O(log n).

Відповідь

D · Відповідей на запити на діапазонах (наприклад, суми діапазонів) та оновлень за O(log n)
5.Теорія графів

Відповідь: k = 12

Ейлер, Гамільтон і дерева: зв’язний граф має ейлерів цикл (кожне ребро один раз, з поверненням до початку), коли кожна вершина має парний степінь, і ейлерів шлях, що не є циклом, коли рівно дві вершини мають непарний степінь; тоді шлях іде від однієї непарної вершини до другої. Гамільтонів цикл відвідує кожну вершину один раз; у Kn їх (n − 1)!/2. Дерево на n вершинах має n − 1 ребро, а зв’язний граф з m ребрами зберігає остовне дерево після вилучення m − n + 1 ребер.

Ребра остовного дерева

11 − 1 = 10

Ребра для вилучення

k = 22 − 10 = 12

Відповідь

k = 12
6.Теорія графів

Відповідь: d(C) = 2

Найкоротші шляхи та остовні дерева: алгоритм Дейкстри фіксує одну вершину за раунд: незафіксовану вершину з найменшою попередньою відстанню. Її відстань тоді остаточна, а кожен сусід v отримує d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Алгоритм Крускала будує мінімальне остовне дерево, беручи ребра від легких до важких і пропускаючи кожне ребро, що замкнуло б цикл; алгоритм Пріма нарощує одне дерево від початкової вершини, завжди додаючи найлегше ребро, що виходить з нього. Остовне дерево з n вершин має n − 1 ребро.

Алгоритм Дейкстри раунд за раундом

Кожен рядок: зафіксована вершина, її остаточна відстань і сусіди, чия відстань покращується.

A (0): B: 1, C: 4
B (1): C: 2, D: 7, E: 4
C (2)
E (4): F: 14
D (7)
F (14)

Найкоротший шлях

A → B → C
d(C) = 2

Відповідь

d(C) = 2

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms