Алгоритми та структури даних: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 6 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачіНазад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Теорія графів

Лема про рукостискання
Σ deg(v) = 2|E|
Повні графи
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Регулярний граф
|E| = n·k/2
Дерево і ліс
|E| = n − 1, |E| = n − c
Листки дерева
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Ейлер
цикл: усі степені парні; шлях: рівно 2 непарні степені
Гамільтонові цикли в Kn
(n − 1)!/2
Оновлення в алгоритмі Дейкстри
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Маршрути довжиною L
(Mᴸ)ij

Метод

  1. Випишіть степінь кожної вершини; сума степенів дорівнює подвоєній кількості ребер.
  2. У задачах про Ейлера перевірте, що граф зв’язний, і порахуйте вершини з непарним степенем.
  3. Для дерев використовуйте n − 1 ребро та лему про рукостискання.
  4. Для алгоритму Дейкстри ведіть таблицю попередніх відстаней і щоразу фіксуйте незафіксовану вершину з найменшою відстанню.
  5. Для мінімального остовного дерева відсортуйте ребра за вагою й пропускайте кожне ребро, що замикає цикл (Крускал), або нарощуйте одне дерево від початкової вершини (Прім).

2Задачі для практики

1.Алгоритми та складністьСередня

Яка часова складність множення двох матриць n × n стандартним потрійним циклом?

  1. AO(n²)
  2. BO(n)
  3. CO(n² log n)
  4. DO(n³)
2.Алгоритми та складністьСкладна

Чому бінарний пошук не дає часу O(log n) на однозв'язному списку?

  1. AБінарному пошуку потрібно щонайменше вдвічі більше пам'яті
  2. BПорівняння вузлів зв'язного списку повільніші
  3. CЗв'язні списки неможливо сортувати
  4. DЩоб дістатися середнього елемента, потрібно O(n) кроків, бо немає прямого доступу за індексом
3.Структури данихСередня

Яке призначення сторожового (фіктивного, sentinel) вузла у зв'язному списку?

  1. AЗберігати кількість елементів
  2. BЗробити список відсортованим
  3. CНе дати списку зростати понад фіксовану максимальну кількість вузлів
  4. DСпростити код, усунувши особливі випадки на голові чи хвості
4.Структури данихСкладна

Які витрати часу й додаткової пам'яті на обернення однозв'язного списку на місці?

  1. AO(n log n) часу та O(1) додаткової пам'яті
  2. BO(n) часу та O(n) додаткової пам'яті
  3. CO(n) часу та O(1) додаткової пам'яті
  4. DO(1) часу та O(1) додаткової пам'яті
5.Теорія графівСередня

Дерево має 2 вершин степеня 4, 4 вершин степеня 5, а всі його інші вершини — листки (степінь 1). Скільки листків L воно має?

2 × deg 44 × deg 5
L =
6.Теорія графівСкладна
514131331395149ABCDEFG

Скористайтеся алгоритмом Дейкстри, щоб знайти довжину d(F) найкоротшого шляху від A до F у зваженому графі.

початок: Aкінець: F
d(F) =

3Розчини

1.Алгоритми та складність

Відповідь: D · O(n³)

Чому це відповідь

Є n² елементів, і кожному потрібно n множень, що дає n³ операцій.

Відповідь

D · O(n³)
2.Алгоритми та складність

Відповідь: D · Щоб дістатися середнього елемента, потрібно O(n) кроків, бо немає прямого доступу за індексом

Чому це відповідь

Бінарний пошук потребує доступу до середини за O(1); у зв'язному списку прохід туди коштує лінійного часу, тож загалом виходить O(n).

Відповідь

D · Щоб дістатися середнього елемента, потрібно O(n) кроків, бо немає прямого доступу за індексом
3.Структури даних

Відповідь: D · Спростити код, усунувши особливі випадки на голові чи хвості

Чому це відповідь

Зі сторожовим вузлом кожен справжній вузол має попередника, тож вставлення чи видалення на початку не потребує особливої обробки.

Відповідь

D · Спростити код, усунувши особливі випадки на голові чи хвості
4.Структури даних

Відповідь: C · O(n) часу та O(1) додаткової пам'яті

Чому це відповідь

Три вказівники (попередній, поточний, наступний) дають змогу обернути кожне посилання за один прохід, не виділяючи нових вузлів.

Відповідь

C · O(n) часу та O(1) додаткової пам'яті
5.Теорія графів

Відповідь: L = 18

Ейлер, Гамільтон і дерева: зв’язний граф має ейлерів цикл (кожне ребро один раз, з поверненням до початку), коли кожна вершина має парний степінь, і ейлерів шлях, що не є циклом, коли рівно дві вершини мають непарний степінь; тоді шлях іде від однієї непарної вершини до другої. Гамільтонів цикл відвідує кожну вершину один раз; у Kn їх (n − 1)!/2. Дерево на n вершинах має n − 1 ребро, а зв’язний граф з m ребрами зберігає остовне дерево після вилучення m − n + 1 ребер.

Лема про рукостискання для дерева

L + 28 = 2(L + 6) − 2
L = 18

Відповідь

L = 18

Скорочення: L = 2 + Σ (d − 2) за вершинами зі степенем d ≥ 3.

6.Теорія графів

Відповідь: d(F) = 28

Найкоротші шляхи та остовні дерева: алгоритм Дейкстри фіксує одну вершину за раунд: незафіксовану вершину з найменшою попередньою відстанню. Її відстань тоді остаточна, а кожен сусід v отримує d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Алгоритм Крускала будує мінімальне остовне дерево, беручи ребра від легких до важких і пропускаючи кожне ребро, що замкнуло б цикл; алгоритм Пріма нарощує одне дерево від початкової вершини, завжди додаючи найлегше ребро, що виходить з нього. Остовне дерево з n вершин має n − 1 ребро.

Алгоритм Дейкстри раунд за раундом

Кожен рядок: зафіксована вершина, її остаточна відстань і сусіди, чия відстань покращується.

A (0): B: 5, C: 14
B (5): G: 10
G (10): D: 24, E: 19
C (14)
E (19): D: 22, F: 28
D (22)
F (28)

Найкоротший шлях

A → B → G → E → F
d(F) = 28

Відповідь

d(F) = 28

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms