Алгоритми та структури даних: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 6 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачіНазад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Теорія графів

Лема про рукостискання
Σ deg(v) = 2|E|
Повні графи
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Регулярний граф
|E| = n·k/2
Дерево і ліс
|E| = n − 1, |E| = n − c
Листки дерева
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Ейлер
цикл: усі степені парні; шлях: рівно 2 непарні степені
Гамільтонові цикли в Kn
(n − 1)!/2
Оновлення в алгоритмі Дейкстри
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Маршрути довжиною L
(Mᴸ)ij

Метод

  1. Випишіть степінь кожної вершини; сума степенів дорівнює подвоєній кількості ребер.
  2. У задачах про Ейлера перевірте, що граф зв’язний, і порахуйте вершини з непарним степенем.
  3. Для дерев використовуйте n − 1 ребро та лему про рукостискання.
  4. Для алгоритму Дейкстри ведіть таблицю попередніх відстаней і щоразу фіксуйте незафіксовану вершину з найменшою відстанню.
  5. Для мінімального остовного дерева відсортуйте ребра за вагою й пропускайте кожне ребро, що замикає цикл (Крускал), або нарощуйте одне дерево від початкової вершини (Прім).

2Задачі для практики

1.Алгоритми та складністьСередня

Що обчислює алгоритм Флойда–Воршелла і як швидко?

  1. AТопологічний порядок за O(V²)
  2. BМінімальне кістякове дерево за O(E log V)
  3. CНайкоротші шляхи від однієї початкової вершини до всіх інших за O(V + E)
  4. DНайкоротші шляхи між усіма парами вершин за O(V³)
2.Алгоритми та складністьСкладна

Яка амортизована вартість інкременту двійкового лічильника, якщо один інкремент може змінити багато бітів?

  1. AO(n) на інкремент
  2. BO(n log n) на інкремент
  3. CO(log n) на інкремент
  4. DO(1) на інкремент
3.Структури данихСередня

Скільки вузлів має ідеальне бінарне дерево висоти h, якщо висоту рахують у ребрах?

  1. Ah2
  2. B2h + 1
  3. C2h
  4. D2h+1 − 1
4.Структури данихСкладна

Який очікуваний час пошуку за простого рівномірного гешування в геш-таблиці з ланцюжками, n ключами та m кошиками?

  1. AO(1 + α), де α = n / m
  2. BO(m)
  3. CO(n)
  4. DO(log n)
5.Теорія графівСередня

Дерево має 4 вершин степеня 3, 4 вершин степеня 4, 4 вершин степеня 5, а всі його інші вершини — листки (степінь 1). Скільки листків L воно має?

4 × deg 34 × deg 44 × deg 5
L =
6.Теорія графівСкладна
121420316157210ABCDEFG

Алгоритм Пріма будує мінімальне остовне дерево, починаючи з вершини A. Клікніть ребро, яке він додає як ребро номер 6.

початок: Ak = 6
  1. 1ребро AB
  2. 2ребро AC
  3. 3ребро BC
  4. 4ребро DE
  5. 5ребро EF
  6. 6ребро GB
  7. 7ребро GC
  8. 8ребро GD
  9. 9ребро GE

3Розчини

1.Алгоритми та складність

Відповідь: D · Найкоротші шляхи між усіма парами вершин за O(V³)

Чому це відповідь

Флойд–Воршелл — алгоритм динамічного програмування, що по черзі дозволяє кожну вершину як проміжну, витрачаючи O(V³) часу.

Відповідь

D · Найкоротші шляхи між усіма парами вершин за O(V³)
2.Алгоритми та складність

Відповідь: D · O(1) на інкремент

Чому це відповідь

За n інкрементів біт i змінюється близько n / 2ⁱ разів, тож загалом менше ніж 2n змін — у середньому O(1) на кожен.

Відповідь

D · O(1) на інкремент
3.Структури даних

Відповідь: D · 2h+1 − 1

Чому це відповідь

Сума 1 + 2 + 4 + ... + 2h дає 2h+1 − 1; наприклад, висота 2 дає 7 вузлів.

Відповідь

D · 2h+1 − 1
4.Структури даних

Відповідь: A · O(1 + α), де α = n / m

Чому це відповідь

Обчислення гешу коштує O(1), а очікувана довжина ланцюжка — α, тож обмеження α через зміну розміру таблиці дає очікуваний час O(1).

Відповідь

A · O(1 + α), де α = n / m
5.Теорія графів

Відповідь: L = 26

Ейлер, Гамільтон і дерева: зв’язний граф має ейлерів цикл (кожне ребро один раз, з поверненням до початку), коли кожна вершина має парний степінь, і ейлерів шлях, що не є циклом, коли рівно дві вершини мають непарний степінь; тоді шлях іде від однієї непарної вершини до другої. Гамільтонів цикл відвідує кожну вершину один раз; у Kn їх (n − 1)!/2. Дерево на n вершинах має n − 1 ребро, а зв’язний граф з m ребрами зберігає остовне дерево після вилучення m − n + 1 ребер.

Лема про рукостискання для дерева

L + 48 = 2(L + 12) − 2
L = 26

Відповідь

L = 26

Скорочення: L = 2 + Σ (d − 2) за вершинами зі степенем d ≥ 3.

6.Теорія графів

Відповідь: ребро EF

Найкоротші шляхи та остовні дерева: алгоритм Дейкстри фіксує одну вершину за раунд: незафіксовану вершину з найменшою попередньою відстанню. Її відстань тоді остаточна, а кожен сусід v отримує d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Алгоритм Крускала будує мінімальне остовне дерево, беручи ребра від легких до важких і пропускаючи кожне ребро, що замкнуло б цикл; алгоритм Пріма нарощує одне дерево від початкової вершини, завжди додаючи найлегше ребро, що виходить з нього. Остовне дерево з n вершин має n − 1 ребро.

Алгоритм Пріма

1. AB (12)
2. AC (14)
3. GC (7)
4. GD (2)
5. DE (3)
6. EF (16)

номер ребра 6

EF

Відповідь

ребро EF

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms