Алгоритми та структури даних: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 6 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачіНазад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Теорія графів

Лема про рукостискання
Σ deg(v) = 2|E|
Повні графи
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Регулярний граф
|E| = n·k/2
Дерево і ліс
|E| = n − 1, |E| = n − c
Листки дерева
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Ейлер
цикл: усі степені парні; шлях: рівно 2 непарні степені
Гамільтонові цикли в Kn
(n − 1)!/2
Оновлення в алгоритмі Дейкстри
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Маршрути довжиною L
(Mᴸ)ij

Метод

  1. Випишіть степінь кожної вершини; сума степенів дорівнює подвоєній кількості ребер.
  2. У задачах про Ейлера перевірте, що граф зв’язний, і порахуйте вершини з непарним степенем.
  3. Для дерев використовуйте n − 1 ребро та лему про рукостискання.
  4. Для алгоритму Дейкстри ведіть таблицю попередніх відстаней і щоразу фіксуйте незафіксовану вершину з найменшою відстанню.
  5. Для мінімального остовного дерева відсортуйте ребра за вагою й пропускайте кожне ребро, що замикає цикл (Крускал), або нарощуйте одне дерево від початкової вершини (Прім).

2Задачі для практики

1.Алгоритми та складністьСередня

Пошук у ширину в незваженому графі знаходить:

  1. AТопологічний порядок у будь-якому графі
  2. BНайкоротші шляхи (за кількістю ребер) від початкової вершини
  3. CНайкоротші шляхи в графах, що містять ребра з від'ємними вагами
  4. DМінімальне кістякове дерево
2.Алгоритми та складністьСкладна

Яке твердження про позначення «мале o» правильне?

  1. An² = o(n)
  2. Bn = o(n²), але n не є o(n)
  3. Cn = o(n), бо кожна функція є «мале o» від самої себе
  4. D2n = o(n), бо 2n зростає повільно
3.Структури данихСередня

Що правильно щодо матриці суміжності неорієнтованого графа?

  1. AВона симетрична відносно головної діагоналі
  2. BВона завжди верхньотрикутна
  3. CЇї головна діагональ завжди містить одиниці
  4. DКожен рядок містить рівно одну 1
4.Структури данихСкладна

Чому в геш-таблиці з відкритою адресацією видалення часто виконують за допомогою позначки «надгробок» (tombstone)?

  1. AВидалені ключі треба зберігати назавжди з міркувань безпеки, тож комірки ніколи не можна використати повторно
  2. BНадгробки пришвидшують гешування
  3. CЗвільнення комірки могло б розірвати послідовність зондування для інших ключів
  4. DЦе робить таблицю відсортованою
5.Теорія графівСередня

Дерево має 3 вершин степеня 3, 3 вершин степеня 4, 4 вершин степеня 5, 2 вершин степеня 2, а всі його інші вершини — листки (степінь 1). Скільки листків L воно має?

3 × deg 33 × deg 44 × deg 52 × deg 2
L =
6.Теорія графівСкладна
4718166101520312ABCDEFG

Алгоритм Пріма будує мінімальне остовне дерево, починаючи з вершини B. Клікніть ребро, яке він додає як ребро номер 4.

початок: Bk = 4
  1. 1ребро AB
  2. 2ребро AC
  3. 3ребро BC
  4. 4ребро CE
  5. 5ребро DE
  6. 6ребро DF
  7. 7ребро EF
  8. 8ребро GB
  9. 9ребро GC
  10. 10ребро GD

3Розчини

1.Алгоритми та складність

Відповідь: B · Найкоротші шляхи (за кількістю ребер) від початкової вершини

Чому це відповідь

BFS відвідує вершини в порядку відстані (у ребрах) від джерела, тому знаходить найкоротші шляхи в незваженому графі за O(V + E).

Відповідь

B · Найкоротші шляхи (за кількістю ребер) від початкової вершини
2.Алгоритми та складність

Відповідь: B · n = o(n²), але n не є o(n)

Чому це відповідь

f = o(g) означає, що f(n) / g(n) прямує до 0; n / n² прямує до 0, а n / n = 1 — ні.

Відповідь

B · n = o(n²), але n не є o(n)
3.Структури даних

Відповідь: A · Вона симетрична відносно головної діагоналі

Чому це відповідь

У неорієнтованому графі ребро {u, v} означає, що встановлено і M[u][v], і M[v][u], тож матриця дорівнює своїй транспонованій.

Відповідь

A · Вона симетрична відносно головної діагоналі
4.Структури даних

Відповідь: C · Звільнення комірки могло б розірвати послідовність зондування для інших ключів

Чому це відповідь

Якби видалена комірка стала порожньою, подальші пошуки могли б зупинитися зарано й пропустити ключі, розміщені далі в ланцюжку зондування.

Відповідь

C · Звільнення комірки могло б розірвати послідовність зондування для інших ключів
5.Теорія графів

Відповідь: L = 23

Ейлер, Гамільтон і дерева: зв’язний граф має ейлерів цикл (кожне ребро один раз, з поверненням до початку), коли кожна вершина має парний степінь, і ейлерів шлях, що не є циклом, коли рівно дві вершини мають непарний степінь; тоді шлях іде від однієї непарної вершини до другої. Гамільтонів цикл відвідує кожну вершину один раз; у Kn їх (n − 1)!/2. Дерево на n вершинах має n − 1 ребро, а зв’язний граф з m ребрами зберігає остовне дерево після вилучення m − n + 1 ребер.

Лема про рукостискання для дерева

L + 45 = 2(L + 12) − 2
L = 23

Відповідь

L = 23

Скорочення: L = 2 + Σ (d − 2) за вершинами зі степенем d ≥ 3.

6.Теорія графів

Відповідь: ребро GD

Найкоротші шляхи та остовні дерева: алгоритм Дейкстри фіксує одну вершину за раунд: незафіксовану вершину з найменшою попередньою відстанню. Її відстань тоді остаточна, а кожен сусід v отримує d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Алгоритм Крускала будує мінімальне остовне дерево, беручи ребра від легких до важких і пропускаючи кожне ребро, що замкнуло б цикл; алгоритм Пріма нарощує одне дерево від початкової вершини, завжди додаючи найлегше ребро, що виходить з нього. Остовне дерево з n вершин має n − 1 ребро.

Алгоритм Пріма

1. AB (4)
2. AC (7)
3. GC (3)
4. GD (12)
5. DE (6)
6. DF (10)

номер ребра 4

GD

Відповідь

ребро GD

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms