Алгоритми та структури даних: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 6 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачіНазад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Теорія графів

Лема про рукостискання
Σ deg(v) = 2|E|
Повні графи
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Регулярний граф
|E| = n·k/2
Дерево і ліс
|E| = n − 1, |E| = n − c
Листки дерева
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Ейлер
цикл: усі степені парні; шлях: рівно 2 непарні степені
Гамільтонові цикли в Kn
(n − 1)!/2
Оновлення в алгоритмі Дейкстри
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Маршрути довжиною L
(Mᴸ)ij

Метод

  1. Випишіть степінь кожної вершини; сума степенів дорівнює подвоєній кількості ребер.
  2. У задачах про Ейлера перевірте, що граф зв’язний, і порахуйте вершини з непарним степенем.
  3. Для дерев використовуйте n − 1 ребро та лему про рукостискання.
  4. Для алгоритму Дейкстри ведіть таблицю попередніх відстаней і щоразу фіксуйте незафіксовану вершину з найменшою відстанню.
  5. Для мінімального остовного дерева відсортуйте ребра за вагою й пропускайте кожне ребро, що замикає цикл (Крускал), або нарощуйте одне дерево від початкової вершини (Прім).

2Задачі для практики

1.Алгоритми та складністьСередня

Чи правильно казати, що алгоритм O(n²) є також O(n³)?

  1. AНі, бо «велике O» завжди має вказувати точну швидкість зростання функції
  2. BТак, але лише якщо n менше за 100
  3. CТак, бо «велике O» — верхня межа, а n² зростає не швидше, ніж n³
  4. DНі, бо для великих n n³ менше за n²
2.Алгоритми та складністьСкладна

Для якого варіанта задачі про рюкзак жадібне правило «брати предмети в порядку цінності на одиницю ваги» завжди дає оптимальну відповідь?

  1. AДля рюкзака 0/1, де предмети завжди потрібно брати цілими
  2. BДля жодного варіанта
  3. CДля обох варіантів
  4. DДля неперервного (дробового) рюкзака, де предмети можна ділити
3.Структури данихСередня

Скільки триває пошук слова довжиною L у префіксному дереві (trie) з фіксованим алфавітом?

  1. AO(L), незалежно від кількості збережених слів
  2. BO(n), де n — кількість слів
  3. CO(L × n)
  4. DO(log n), де n — кількість слів
4.Структури данихСкладна

Як визначити, чи містить однозв'язний список цикл, використовуючи O(1) додаткової пам'яті?

  1. AВідсортувати список і шукати дублікати
  2. BРахувати вузли, доки кількість не перевищить поле довжини списку
  3. CРухати один вказівник на один крок, а інший — на два кроки й перевіряти, чи вони зустрінуться
  4. DЗберігати кожен відвіданий вузол у геш-множині
5.Теорія графівСередня

Скільки різних гамільтонових циклів H має повний граф K8? Цикли, що відрізняються лише початковою вершиною чи напрямком, вважаються однаковими.

K8
H =
6.Теорія графівСкладна
431361121114ABCDEF

Скористайтеся алгоритмом Дейкстри, щоб знайти довжину d(F) найкоротшого шляху від A до F у зваженому графі.

початок: Aкінець: F
d(F) =

3Розчини

1.Алгоритми та складність

Відповідь: C · Так, бо «велике O» — верхня межа, а n² зростає не швидше, ніж n³

Чому це відповідь

«Велике O» — верхня межа, тож твердження правильне, але не точне; Θ(n²) задає точну швидкість зростання.

Відповідь

C · Так, бо «велике O» — верхня межа, а n² зростає не швидше, ніж n³
2.Алгоритми та складність

Відповідь: D · Для неперервного (дробового) рюкзака, де предмети можна ділити

Чому це відповідь

Коли предмети можна ділити, оптимально брати спершу з найкращим відношенням; у рюкзаку 0/1 предмет із високим відношенням може заблокувати кращу комбінацію, тож потрібне динамічне програмування.

Відповідь

D · Для неперервного (дробового) рюкзака, де предмети можна ділити
3.Структури даних

Відповідь: A · O(L), незалежно від кількості збережених слів

Чому це відповідь

Кожен символ обирає одну дитину, тож пошук займає L кроків незалежно від того, скільки слів містить trie.

Відповідь

A · O(L), незалежно від кількості збережених слів
4.Структури даних

Відповідь: C · Рухати один вказівник на один крок, а інший — на два кроки й перевіряти, чи вони зустрінуться

Чому це відповідь

В алгоритмі Флойда за наявності циклу швидкий вказівник зрештою наздоганяє повільний; інакше швидкий вказівник досягає null.

Відповідь

C · Рухати один вказівник на один крок, а інший — на два кроки й перевіряти, чи вони зустрінуться
5.Теорія графів

Відповідь: H = 2520

Ейлер, Гамільтон і дерева: зв’язний граф має ейлерів цикл (кожне ребро один раз, з поверненням до початку), коли кожна вершина має парний степінь, і ейлерів шлях, що не є циклом, коли рівно дві вершини мають непарний степінь; тоді шлях іде від однієї непарної вершини до другої. Гамільтонів цикл відвідує кожну вершину один раз; у Kn їх (n − 1)!/2. Дерево на n вершинах має n − 1 ребро, а зв’язний граф з m ребрами зберігає остовне дерево після вилучення m − n + 1 ребер.

Порахуйте

H = (8 − 1)!/2 = 5040/2 = 2520

Відповідь

H = 2520
6.Теорія графів

Відповідь: d(F) = 15

Найкоротші шляхи та остовні дерева: алгоритм Дейкстри фіксує одну вершину за раунд: незафіксовану вершину з найменшою попередньою відстанню. Її відстань тоді остаточна, а кожен сусід v отримує d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Алгоритм Крускала будує мінімальне остовне дерево, беручи ребра від легких до важких і пропускаючи кожне ребро, що замкнуло б цикл; алгоритм Пріма нарощує одне дерево від початкової вершини, завжди додаючи найлегше ребро, що виходить з нього. Остовне дерево з n вершин має n − 1 ребро.

Алгоритм Дейкстри раунд за раундом

Кожен рядок: зафіксована вершина, її остаточна відстань і сусіди, чия відстань покращується.

A (0): B: 4, C: 3
C (3): E: 4
B (4): D: 10
E (4): F: 15
D (10)
F (15)

Найкоротший шлях

A → C → E → F
d(F) = 15

Відповідь

d(F) = 15

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms