Алгоритми та структури даних: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 6 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачіНазад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Теорія графів

Лема про рукостискання
Σ deg(v) = 2|E|
Повні графи
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Регулярний граф
|E| = n·k/2
Дерево і ліс
|E| = n − 1, |E| = n − c
Листки дерева
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Ейлер
цикл: усі степені парні; шлях: рівно 2 непарні степені
Гамільтонові цикли в Kn
(n − 1)!/2
Оновлення в алгоритмі Дейкстри
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Маршрути довжиною L
(Mᴸ)ij

Метод

  1. Випишіть степінь кожної вершини; сума степенів дорівнює подвоєній кількості ребер.
  2. У задачах про Ейлера перевірте, що граф зв’язний, і порахуйте вершини з непарним степенем.
  3. Для дерев використовуйте n − 1 ребро та лему про рукостискання.
  4. Для алгоритму Дейкстри ведіть таблицю попередніх відстаней і щоразу фіксуйте незафіксовану вершину з найменшою відстанню.
  5. Для мінімального остовного дерева відсортуйте ребра за вагою й пропускайте кожне ребро, що замикає цикл (Крускал), або нарощуйте одне дерево від початкової вершини (Прім).

2Задачі для практики

1.Алгоритми та складністьСередня

Динамічне програмування корисне, коли задача має:

  1. AЛише випадкові вхідні дані
  2. BПерекривні підзадачі та оптимальну підструктуру
  3. CЖодних підзадач, тож її можна розв'язати за один крок
  4. DОдин цикл
2.Алгоритми та складністьСкладна

Яка оцінка для log(n!) правильна?

  1. AΘ(n²)
  2. BΘ(n log n)
  3. CΘ(log n)
  4. DΘ(n)
3.Структури данихСередня

Скільки вузлів має ідеальне бінарне дерево висоти h, якщо висоту рахують у ребрах?

  1. Ah2
  2. B2h+1 − 1
  3. C2h
  4. D2h + 1
4.Структури данихСкладна

Яке твердження про пірамідальне сортування (heapsort) правильне?

  1. AВоно сортує на місці за час O(n log n) у найгіршому випадку, але не є стабільним
  2. BВоно потребує бінарного дерева пошуку як додаткового сховища, тож використовує O(n) додаткової пам'яті
  3. CВоно працює за час O(n) на будь-яких вхідних даних
  4. DВоно стабільне й потребує O(n) додаткової пам'яті
5.Теорія графівСередня

Зв’язний граф має 8 вершин і 18 ребер. Скільки ребер k треба вилучити, щоб залишилося остовне дерево?

|V| = 8|E| = 18
k =
6.Теорія графівСкладна
61182118112ABCDEF

Алгоритм Дейкстри працює від A. Клікніть вершину, яку фіксують (роблять остаточною) у раунді 5; сама A — це раунд 1.

початок: Aраунд 5
  1. 1A
  2. 2B
  3. 3C
  4. 4D
  5. 5E
  6. 6F

3Розчини

1.Алгоритми та складність

Відповідь: B · Перекривні підзадачі та оптимальну підструктуру

Чому це відповідь

Збереження результатів перекривних підзадач (мемоізація або табуляція) дає змогу уникнути повторної роботи й перетворює експоненційні алгоритми на поліноміальні.

Відповідь

B · Перекривні підзадачі та оптимальну підструктуру
2.Алгоритми та складність

Відповідь: B · Θ(n log n)

Чому це відповідь

log(n!) ≤ n log n, а n / 2 найбільших множників дають log(n!) ≥ (n / 2) log(n / 2); саме тому сортування порівняннями потребує Ω(n log n).

Відповідь

B · Θ(n log n)
3.Структури даних

Відповідь: B · 2h+1 − 1

Чому це відповідь

Сума 1 + 2 + 4 + ... + 2h дає 2h+1 − 1; наприклад, висота 2 дає 7 вузлів.

Відповідь

B · 2h+1 − 1
4.Структури даних

Відповідь: A · Воно сортує на місці за час O(n log n) у найгіршому випадку, але не є стабільним

Чому це відповідь

Heapsort будує макс-купу й n разів видобуває максимум у тому самому масиві; обміни на великі відстані можуть змінювати порядок однакових ключів.

Відповідь

A · Воно сортує на місці за час O(n log n) у найгіршому випадку, але не є стабільним
5.Теорія графів

Відповідь: k = 11

Ейлер, Гамільтон і дерева: зв’язний граф має ейлерів цикл (кожне ребро один раз, з поверненням до початку), коли кожна вершина має парний степінь, і ейлерів шлях, що не є циклом, коли рівно дві вершини мають непарний степінь; тоді шлях іде від однієї непарної вершини до другої. Гамільтонів цикл відвідує кожну вершину один раз; у Kn їх (n − 1)!/2. Дерево на n вершинах має n − 1 ребро, а зв’язний граф з m ребрами зберігає остовне дерево після вилучення m − n + 1 ребер.

Ребра остовного дерева

8 − 1 = 7

Ребра для вилучення

k = 18 − 7 = 11

Відповідь

k = 11
6.Теорія графів

Відповідь: E

Найкоротші шляхи та остовні дерева: алгоритм Дейкстри фіксує одну вершину за раунд: незафіксовану вершину з найменшою попередньою відстанню. Її відстань тоді остаточна, а кожен сусід v отримує d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Алгоритм Крускала будує мінімальне остовне дерево, беручи ребра від легких до важких і пропускаючи кожне ребро, що замкнуло б цикл; алгоритм Пріма нарощує одне дерево від початкової вершини, завжди додаючи найлегше ребро, що виходить з нього. Остовне дерево з n вершин має n − 1 ребро.

Алгоритм Дейкстри раунд за раундом

1. A (0): B: 6, C: 11
2. B (6): D: 8
3. D (8): E: 16, F: 19
4. C (11)
5. E (16): F: 18
6. F (18)

раунд 5

E

Відповідь

E

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms