Алгоритми та структури даних: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 6 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачіНазад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Теорія графів

Лема про рукостискання
Σ deg(v) = 2|E|
Повні графи
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Регулярний граф
|E| = n·k/2
Дерево і ліс
|E| = n − 1, |E| = n − c
Листки дерева
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Ейлер
цикл: усі степені парні; шлях: рівно 2 непарні степені
Гамільтонові цикли в Kn
(n − 1)!/2
Оновлення в алгоритмі Дейкстри
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Маршрути довжиною L
(Mᴸ)ij

Метод

  1. Випишіть степінь кожної вершини; сума степенів дорівнює подвоєній кількості ребер.
  2. У задачах про Ейлера перевірте, що граф зв’язний, і порахуйте вершини з непарним степенем.
  3. Для дерев використовуйте n − 1 ребро та лему про рукостискання.
  4. Для алгоритму Дейкстри ведіть таблицю попередніх відстаней і щоразу фіксуйте незафіксовану вершину з найменшою відстанню.
  5. Для мінімального остовного дерева відсортуйте ребра за вагою й пропускайте кожне ребро, що замикає цикл (Крускал), або нарощуйте одне дерево від початкової вершини (Прім).

2Задачі для практики

1.Алгоритми та складністьСередня

Який розв'язок рекурентного співвідношення T(n) = T(n − 1) + O(1)?

  1. AO(n)
  2. BO(n²)
  3. CO(log n)
  4. DO(2ⁿ)
2.Алгоритми та складністьСкладна

Чи належить 22n до O(2ⁿ)?

  1. AТак, бо обидві функції експоненційні
  2. BТак, бо сталі множники в показнику степеня в нотації «велике O» завжди ігноруються
  3. CНі, бо 22n зростає повільніше, ніж 2ⁿ
  4. DНі, бо 22n = 4ⁿ, а 4ⁿ / 2ⁿ = 2ⁿ зростає необмежено
3.Структури данихСередня

Як знайти мінімальний ключ у бінарному дереві пошуку?

  1. AПодивитися лише на корінь
  2. BВідвідати кожен листок і порівняти їх
  3. CІти від кореня правими дітьми, доки правої дитини не буде
  4. DІти від кореня лівими дітьми, доки лівої дитини не буде
4.Структури данихСкладна

Які витрати часу й додаткової пам'яті на обернення однозв'язного списку на місці?

  1. AO(n log n) часу та O(1) додаткової пам'яті
  2. BO(n) часу та O(1) додаткової пам'яті
  3. CO(1) часу та O(1) додаткової пам'яті
  4. DO(n) часу та O(n) додаткової пам'яті
5.Теорія графівСередня

Дерево має 4 вершин степеня 3, 2 вершин степеня 4, 4 вершин степеня 5, 3 вершин степеня 2, а всі його інші вершини — листки (степінь 1). Скільки листків L воно має?

4 × deg 32 × deg 44 × deg 53 × deg 2
L =
6.Теорія графівСкладна
215210315314ABCDEF

Алгоритм Дейкстри працює від A. Клікніть вершину, яку фіксують (роблять остаточною) у раунді 3; сама A — це раунд 1.

початок: Aраунд 3
  1. 1A
  2. 2B
  3. 3C
  4. 4D
  5. 5E
  6. 6F

3Розчини

1.Алгоритми та складність

Відповідь: A · O(n)

Чому це відповідь

Є n рівнів зі сталою роботою на кожному, як у рекурсивному обчисленні суми масиву.

Відповідь

A · O(n)
2.Алгоритми та складність

Відповідь: D · Ні, бо 22n = 4ⁿ, а 4ⁿ / 2ⁿ = 2ⁿ зростає необмежено

Чому це відповідь

Стала, додана до показника, дає сталий множник, але стала, що множить показник, змінює основу й швидкість зростання.

Відповідь

D · Ні, бо 22n = 4ⁿ, а 4ⁿ / 2ⁿ = 2ⁿ зростає необмежено
3.Структури даних

Відповідь: D · Іти від кореня лівими дітьми, доки лівої дитини не буде

Чому це відповідь

Крайній лівий вузол не має меншого ключа в дереві, тож він і є мінімумом; вартість пропорційна висоті.

Відповідь

D · Іти від кореня лівими дітьми, доки лівої дитини не буде
4.Структури даних

Відповідь: B · O(n) часу та O(1) додаткової пам'яті

Чому це відповідь

Три вказівники (попередній, поточний, наступний) дають змогу обернути кожне посилання за один прохід, не виділяючи нових вузлів.

Відповідь

B · O(n) часу та O(1) додаткової пам'яті
5.Теорія графів

Відповідь: L = 22

Ейлер, Гамільтон і дерева: зв’язний граф має ейлерів цикл (кожне ребро один раз, з поверненням до початку), коли кожна вершина має парний степінь, і ейлерів шлях, що не є циклом, коли рівно дві вершини мають непарний степінь; тоді шлях іде від однієї непарної вершини до другої. Гамільтонів цикл відвідує кожну вершину один раз; у Kn їх (n − 1)!/2. Дерево на n вершинах має n − 1 ребро, а зв’язний граф з m ребрами зберігає остовне дерево після вилучення m − n + 1 ребер.

Лема про рукостискання для дерева

L + 46 = 2(L + 13) − 2
L = 22

Відповідь

L = 22

Скорочення: L = 2 + Σ (d − 2) за вершинами зі степенем d ≥ 3.

6.Теорія графів

Відповідь: D

Найкоротші шляхи та остовні дерева: алгоритм Дейкстри фіксує одну вершину за раунд: незафіксовану вершину з найменшою попередньою відстанню. Її відстань тоді остаточна, а кожен сусід v отримує d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Алгоритм Крускала будує мінімальне остовне дерево, беручи ребра від легких до важких і пропускаючи кожне ребро, що замкнуло б цикл; алгоритм Пріма нарощує одне дерево від початкової вершини, завжди додаючи найлегше ребро, що виходить з нього. Остовне дерево з n вершин має n − 1 ребро.

Алгоритм Дейкстри раунд за раундом

1. A (0): B: 2
2. B (2): C: 17, D: 4, E: 16
3. D (4): E: 7, F: 19
4. E (7): F: 10
5. F (10)
6. C (17)

раунд 3

D

Відповідь

D

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms