Алгоритми та структури даних: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 6 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачіНазад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Теорія графів

Лема про рукостискання
Σ deg(v) = 2|E|
Повні графи
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Регулярний граф
|E| = n·k/2
Дерево і ліс
|E| = n − 1, |E| = n − c
Листки дерева
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Ейлер
цикл: усі степені парні; шлях: рівно 2 непарні степені
Гамільтонові цикли в Kn
(n − 1)!/2
Оновлення в алгоритмі Дейкстри
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Маршрути довжиною L
(Mᴸ)ij

Метод

  1. Випишіть степінь кожної вершини; сума степенів дорівнює подвоєній кількості ребер.
  2. У задачах про Ейлера перевірте, що граф зв’язний, і порахуйте вершини з непарним степенем.
  3. Для дерев використовуйте n − 1 ребро та лему про рукостискання.
  4. Для алгоритму Дейкстри ведіть таблицю попередніх відстаней і щоразу фіксуйте незафіксовану вершину з найменшою відстанню.
  5. Для мінімального остовного дерева відсортуйте ребра за вагою й пропускайте кожне ребро, що замикає цикл (Крускал), або нарощуйте одне дерево від початкової вершини (Прім).

2Задачі для практики

1.Алгоритми та складністьСередня

Чому основу логарифма в «великому O» зазвичай не вказують, як-от в O(log n)?

  1. AОснова має значення лише для малих n
  2. BЛогарифми завжди округлюють до цілих
  3. CЛогарифми з різними основами відрізняються лише сталим множником
  4. DУсі логарифми в інформатиці мають основу 10, тож вона мається на увазі
2.Алгоритми та складністьСкладна

Які дві речі треба показати, щоб довести, що задача розпізнавання X є NP-повною?

  1. AX належить до P, і X зводиться до SAT
  2. BX не має поліноміального алгоритму, і X розв'язна
  3. CX зводиться до задачі з P, і X належить до NP
  4. DX належить до NP, і відома NP-повна задача зводиться до X за поліноміальний час
3.Структури данихСередня

Застосунку потрібен швидкий пошук, а також виведення ключів у відсортованому порядку та відповіді на запити діапазону. Яка структура підходить найкраще?

  1. AСтек
  2. BГеш-таблиця
  3. CНевідсортований зв'язний список
  4. DЗбалансоване бінарне дерево пошуку
4.Структури данихСкладна

Видалення вузла з двома дітьми з бінарного дерева пошуку зазвичай виконують так:

  1. AПеребудовують піддерево під ним з нуля й повторно вставляють усі ключі, які воно містило
  2. BВидаляють усе піддерево
  3. CЗамінюють його in-order наступником (або попередником) і видаляють той вузол
  4. DМіняють його місцями з коренем
5.Теорія графівСередня
ABCDEFЕйлерів циклЕйлерів шлях, не циклжодна з цих

Чи має зв’язний граф ейлерів цикл, ейлерів шлях, що не є циклом, чи нічого з цього? Клікніть свою відповідь.

|V| = 6|E| = 6
  1. 1Ейлерів цикл
  2. 2Ейлерів шлях, не цикл
  3. 3жодна з цих
6.Теорія графівСкладна
18196141129205ABCDEF

Алгоритм Крускала будує мінімальне остовне дерево. Клікніть ребро, яке він додає як ребро номер 3; пропущені ребра не враховуються.

k = 3
  1. 1ребро AB
  2. 2ребро AC
  3. 3ребро BC
  4. 4ребро BD
  5. 5ребро CE
  6. 6ребро DE
  7. 7ребро DF
  8. 8ребро EF
  9. 9ребро BE

3Розчини

1.Алгоритми та складність

Відповідь: C · Логарифми з різними основами відрізняються лише сталим множником

Чому це відповідь

Зміна основи множить логарифм на сталу, а «велике O» ігнорує сталі множники.

Відповідь

C · Логарифми з різними основами відрізняються лише сталим множником
2.Алгоритми та складність

Відповідь: D · X належить до NP, і відома NP-повна задача зводиться до X за поліноміальний час

Чому це відповідь

Належність до NP показує, що X не складніша за NP; зведення від відомої NP-повної задачі показує, що X щонайменше така ж складна, як увесь NP.

Відповідь

D · X належить до NP, і відома NP-повна задача зводиться до X за поліноміальний час
3.Структури даних

Відповідь: D · Збалансоване бінарне дерево пошуку

Чому це відповідь

Збалансоване BST дає пошук за O(log n) і зберігає ключі впорядкованими, тож симетричний обхід і запити діапазону прості; геш-таблиця розкидає ключі.

Відповідь

D · Збалансоване бінарне дерево пошуку
4.Структури даних

Відповідь: C · Замінюють його in-order наступником (або попередником) і видаляють той вузол

Чому це відповідь

In-order наступник має щонайбільше одну дитину, тому його легко видалити після копіювання його ключа у вузол, що видаляється.

Відповідь

C · Замінюють його in-order наступником (або попередником) і видаляють той вузол
5.Теорія графів

Відповідь: жодна з цих

Ейлер, Гамільтон і дерева: зв’язний граф має ейлерів цикл (кожне ребро один раз, з поверненням до початку), коли кожна вершина має парний степінь, і ейлерів шлях, що не є циклом, коли рівно дві вершини мають непарний степінь; тоді шлях іде від однієї непарної вершини до другої. Гамільтонів цикл відвідує кожну вершину один раз; у Kn їх (n − 1)!/2. Дерево на n вершинах має n − 1 ребро, а зв’язний граф з m ребрами зберігає остовне дерево після вилучення m − n + 1 ребер.

Степені

deg(A) = 2, deg(B) = 3, deg(C) = 1, deg(D) = 2, deg(E) = 3, deg(F) = 1

Непарні вершини

B, C, E, F → 4
жодна з цих

Відповідь

жодна з цих
6.Теорія графів

Відповідь: ребро DF

Найкоротші шляхи та остовні дерева: алгоритм Дейкстри фіксує одну вершину за раунд: незафіксовану вершину з найменшою попередньою відстанню. Її відстань тоді остаточна, а кожен сусід v отримує d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Алгоритм Крускала будує мінімальне остовне дерево, беручи ребра від легких до важких і пропускаючи кожне ребро, що замкнуло б цикл; алгоритм Пріма нарощує одне дерево від початкової вершини, завжди додаючи найлегше ребро, що виходить з нього. Остовне дерево з n вершин має n − 1 ребро.

Алгоритм Крускала

1. CE (1)
2. BE (5)
3. DF (9)
4. DE (12)
5. AB (18)

номер ребра 3

DF

Відповідь

ребро DF

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms