Алгоритми та структури даних: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 6 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачіНазад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Теорія графів

Лема про рукостискання
Σ deg(v) = 2|E|
Повні графи
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Регулярний граф
|E| = n·k/2
Дерево і ліс
|E| = n − 1, |E| = n − c
Листки дерева
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Ейлер
цикл: усі степені парні; шлях: рівно 2 непарні степені
Гамільтонові цикли в Kn
(n − 1)!/2
Оновлення в алгоритмі Дейкстри
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Маршрути довжиною L
(Mᴸ)ij

Метод

  1. Випишіть степінь кожної вершини; сума степенів дорівнює подвоєній кількості ребер.
  2. У задачах про Ейлера перевірте, що граф зв’язний, і порахуйте вершини з непарним степенем.
  3. Для дерев використовуйте n − 1 ребро та лему про рукостискання.
  4. Для алгоритму Дейкстри ведіть таблицю попередніх відстаней і щоразу фіксуйте незафіксовану вершину з найменшою відстанню.
  5. Для мінімального остовного дерева відсортуйте ребра за вагою й пропускайте кожне ребро, що замикає цикл (Крускал), або нарощуйте одне дерево від початкової вершини (Прім).

2Задачі для практики

1.Алгоритми та складністьСередня

Чи правильно казати, що алгоритм O(n²) є також O(n³)?

  1. AНі, бо для великих n n³ менше за n²
  2. BТак, але лише якщо n менше за 100
  3. CНі, бо «велике O» завжди має вказувати точну швидкість зростання функції
  4. DТак, бо «велике O» — верхня межа, а n² зростає не швидше, ніж n³
2.Алгоритми та складністьСкладна

Що встановила теорема Кука–Левіна?

  1. AПроблема зупинки нерозв'язна
  2. BКожну задачу з NP можна розв'язати за експоненційний час
  3. CЗадача виконуваності булевих формул (SAT) є NP-повною
  4. DP не дорівнює NP
3.Структури данихСередня

У бінарній мін-купі, що зберігається в масиві (індексація з 0), діти вузла з індексом i розташовані на позиціях:

  1. A2i + 1 і 2i + 2
  2. Bi + 1 і i + 2
  3. C2i і 2i + 1
  4. Di/2 і i/2 + 1
4.Структури данихСкладна

Часова складність операції decrease-key у бінарній купі (за відомої позиції елемента) становить:

  1. AO(n log n)
  2. BO(log n)
  3. CO(1)
  4. DO(n)
5.Теорія графівСередня

Зв’язний граф має 18 вершин і 25 ребер. Скільки ребер k треба вилучити, щоб залишилося остовне дерево?

|V| = 18|E| = 25
k =
6.Теорія графівСкладна
811120131217ABCDE

Алгоритм Крускала будує мінімальне остовне дерево. Клікніть ребро, яке він додає як ребро номер 4; пропущені ребра не враховуються.

k = 4
  1. 1ребро AB
  2. 2ребро AC
  3. 3ребро BC
  4. 4ребро BD
  5. 5ребро CE
  6. 6ребро DE
  7. 7ребро BE

3Розчини

1.Алгоритми та складність

Відповідь: D · Так, бо «велике O» — верхня межа, а n² зростає не швидше, ніж n³

Чому це відповідь

«Велике O» — верхня межа, тож твердження правильне, але не точне; Θ(n²) задає точну швидкість зростання.

Відповідь

D · Так, бо «велике O» — верхня межа, а n² зростає не швидше, ніж n³
2.Алгоритми та складність

Відповідь: C · Задача виконуваності булевих формул (SAT) є NP-повною

Чому це відповідь

Кук і Левін незалежно показали, що кожна задача з NP зводиться до SAT за поліноміальний час, тож SAT стала першою відомою NP-повною задачею.

Відповідь

C · Задача виконуваності булевих формул (SAT) є NP-повною
3.Структури даних

Відповідь: A · 2i + 1 і 2i + 2

Чому це відповідь

У масивах з індексацією від 0 лівий нащадок має індекс 2i + 1, правий — 2i + 2, а батько — ⌊(i − 1)/2⌋.

Відповідь

A · 2i + 1 і 2i + 2
4.Структури даних

Відповідь: B · O(log n)

Чому це відповідь

Після зменшення ключа елемент піднімається щонайбільше на висоту купи. Купи Фібоначчі досягають амортизованого decrease-key за O(1).

Відповідь

B · O(log n)
5.Теорія графів

Відповідь: k = 8

Ейлер, Гамільтон і дерева: зв’язний граф має ейлерів цикл (кожне ребро один раз, з поверненням до початку), коли кожна вершина має парний степінь, і ейлерів шлях, що не є циклом, коли рівно дві вершини мають непарний степінь; тоді шлях іде від однієї непарної вершини до другої. Гамільтонів цикл відвідує кожну вершину один раз; у Kn їх (n − 1)!/2. Дерево на n вершинах має n − 1 ребро, а зв’язний граф з m ребрами зберігає остовне дерево після вилучення m − n + 1 ребер.

Ребра остовного дерева

18 − 1 = 17

Ребра для вилучення

k = 25 − 17 = 8

Відповідь

k = 8
6.Теорія графів

Відповідь: ребро CE

Найкоротші шляхи та остовні дерева: алгоритм Дейкстри фіксує одну вершину за раунд: незафіксовану вершину з найменшою попередньою відстанню. Її відстань тоді остаточна, а кожен сусід v отримує d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Алгоритм Крускала будує мінімальне остовне дерево, беручи ребра від легких до важких і пропускаючи кожне ребро, що замкнуло б цикл; алгоритм Пріма нарощує одне дерево від початкової вершини, завжди додаючи найлегше ребро, що виходить з нього. Остовне дерево з n вершин має n − 1 ребро.

Алгоритм Крускала

1. BC (1)
2. AB (8)
3. DE (12)
4. CE (13)

номер ребра 4

CE

Відповідь

ребро CE

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms