Алгоритми та структури даних: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 6 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачіНазад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Теорія графів

Лема про рукостискання
Σ deg(v) = 2|E|
Повні графи
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Регулярний граф
|E| = n·k/2
Дерево і ліс
|E| = n − 1, |E| = n − c
Листки дерева
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Ейлер
цикл: усі степені парні; шлях: рівно 2 непарні степені
Гамільтонові цикли в Kn
(n − 1)!/2
Оновлення в алгоритмі Дейкстри
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Маршрути довжиною L
(Mᴸ)ij

Метод

  1. Випишіть степінь кожної вершини; сума степенів дорівнює подвоєній кількості ребер.
  2. У задачах про Ейлера перевірте, що граф зв’язний, і порахуйте вершини з непарним степенем.
  3. Для дерев використовуйте n − 1 ребро та лему про рукостискання.
  4. Для алгоритму Дейкстри ведіть таблицю попередніх відстаней і щоразу фіксуйте незафіксовану вершину з найменшою відстанню.
  5. Для мінімального остовного дерева відсортуйте ребра за вагою й пропускайте кожне ребро, що замикає цикл (Крускал), або нарощуйте одне дерево від початкової вершини (Прім).

2Задачі для практики

1.Алгоритми та складністьСередня

Що означає, що задача має оптимальну підструктуру?

  1. AЗадачу можна розв'язати за сталий час
  2. BЗадача має рівно один оптимальний розв'язок, спільний для кожної підзадачі
  3. CУсі підзадачі мають однаковий розмір
  4. DОптимальний розв'язок можна побудувати з оптимальних розв'язків її підзадач
2.Алгоритми та складністьСкладна

Найкоротші прості шляхи можна знайти за поліноміальний час. Що відомо про пошук найдовшого простого шляху між двома вершинами в загальному графі?

  1. AЇї завжди можна розв'язати за O(V + E)
  2. BВона нерозв'язна
  3. CЇї можна розв'язати алгоритмом Дейкстри з від'ємними вагами
  4. DЦе NP-складна задача
3.Структури данихСередня

Що правильно щодо матриці суміжності неорієнтованого графа?

  1. AКожен рядок містить рівно одну 1
  2. BЇї головна діагональ завжди містить одиниці
  3. CВона симетрична відносно головної діагоналі
  4. DВона завжди верхньотрикутна
4.Структури данихСкладна

Які операції підтримує дерево Фенвіка (binary indexed tree) над масивом із n чисел за O(log n)?

  1. AЗнаходження медіани за O(1)
  2. BЗапити префіксних сум і оновлення окремих елементів
  3. CВставлення елементів у будь-яку позицію
  4. DСортування масиву та бінарний пошук
5.Теорія графівСередня

Зв’язний граф має 10 вершин і 13 ребер. Скільки ребер k треба вилучити, щоб залишилося остовне дерево?

|V| = 10|E| = 13
k =
6.Теорія графівСкладна
19103161511148ABCDEF

Алгоритм Крускала будує мінімальне остовне дерево. Клікніть ребро, яке він додає як ребро номер 2; пропущені ребра не враховуються.

k = 2
  1. 1ребро AB
  2. 2ребро BC
  3. 3ребро BD
  4. 4ребро CE
  5. 5ребро DE
  6. 6ребро DF
  7. 7ребро EF
  8. 8ребро BE

3Розчини

1.Алгоритми та складність

Відповідь: D · Оптимальний розв'язок можна побудувати з оптимальних розв'язків її підзадач

Чому це відповідь

Оптимальна підструктура потрібна, щоб і жадібні алгоритми, і динамічне програмування давали правильні відповіді.

Відповідь

D · Оптимальний розв'язок можна побудувати з оптимальних розв'язків її підзадач
2.Алгоритми та складність

Відповідь: D · Це NP-складна задача

Чому це відповідь

Найдовший простий шлях довжиною V − 1 — це гамільтонів шлях, пошук якого є NP-повною задачею; утім, на орієнтованих ациклічних графах задача розв'язна за лінійний час.

Відповідь

D · Це NP-складна задача
3.Структури даних

Відповідь: C · Вона симетрична відносно головної діагоналі

Чому це відповідь

У неорієнтованому графі ребро {u, v} означає, що встановлено і M[u][v], і M[v][u], тож матриця дорівнює своїй транспонованій.

Відповідь

C · Вона симетрична відносно головної діагоналі
4.Структури даних

Відповідь: B · Запити префіксних сум і оновлення окремих елементів

Чому це відповідь

Дерево Фенвіка зберігає часткові суми на діапазонах, визначених молодшими бітами кожного індексу, тож і префіксні суми, і точкові оновлення займають O(log n).

Відповідь

B · Запити префіксних сум і оновлення окремих елементів
5.Теорія графів

Відповідь: k = 4

Ейлер, Гамільтон і дерева: зв’язний граф має ейлерів цикл (кожне ребро один раз, з поверненням до початку), коли кожна вершина має парний степінь, і ейлерів шлях, що не є циклом, коли рівно дві вершини мають непарний степінь; тоді шлях іде від однієї непарної вершини до другої. Гамільтонів цикл відвідує кожну вершину один раз; у Kn їх (n − 1)!/2. Дерево на n вершинах має n − 1 ребро, а зв’язний граф з m ребрами зберігає остовне дерево після вилучення m − n + 1 ребер.

Ребра остовного дерева

10 − 1 = 9

Ребра для вилучення

k = 13 − 9 = 4

Відповідь

k = 4
6.Теорія графів

Відповідь: ребро BE

Найкоротші шляхи та остовні дерева: алгоритм Дейкстри фіксує одну вершину за раунд: незафіксовану вершину з найменшою попередньою відстанню. Її відстань тоді остаточна, а кожен сусід v отримує d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Алгоритм Крускала будує мінімальне остовне дерево, беручи ребра від легких до важких і пропускаючи кожне ребро, що замкнуло б цикл; алгоритм Пріма нарощує одне дерево від початкової вершини, завжди додаючи найлегше ребро, що виходить з нього. Остовне дерево з n вершин має n − 1 ребро.

Алгоритм Крускала

1. BD (3)
2. BE (8)
3. BC (10)
4. DF (11)
5. AB (19)

номер ребра 2

BE

Відповідь

ребро BE

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms