Алгоритми та структури даних: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 6 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачіНазад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Теорія графів

Лема про рукостискання
Σ deg(v) = 2|E|
Повні графи
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Регулярний граф
|E| = n·k/2
Дерево і ліс
|E| = n − 1, |E| = n − c
Листки дерева
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Ейлер
цикл: усі степені парні; шлях: рівно 2 непарні степені
Гамільтонові цикли в Kn
(n − 1)!/2
Оновлення в алгоритмі Дейкстри
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Маршрути довжиною L
(Mᴸ)ij

Метод

  1. Випишіть степінь кожної вершини; сума степенів дорівнює подвоєній кількості ребер.
  2. У задачах про Ейлера перевірте, що граф зв’язний, і порахуйте вершини з непарним степенем.
  3. Для дерев використовуйте n − 1 ребро та лему про рукостискання.
  4. Для алгоритму Дейкстри ведіть таблицю попередніх відстаней і щоразу фіксуйте незафіксовану вершину з найменшою відстанню.
  5. Для мінімального остовного дерева відсортуйте ребра за вагою й пропускайте кожне ребро, що замикає цикл (Крускал), або нарощуйте одне дерево від початкової вершини (Прім).

2Задачі для практики

1.Алгоритми та складністьСередня

Чи правильно казати, що алгоритм O(n²) є також O(n³)?

  1. AТак, але лише якщо n менше за 100
  2. BНі, бо «велике O» завжди має вказувати точну швидкість зростання функції
  3. CТак, бо «велике O» — верхня межа, а n² зростає не швидше, ніж n³
  4. DНі, бо для великих n n³ менше за n²
2.Алгоритми та складністьСкладна

Для якого варіанта задачі про рюкзак жадібне правило «брати предмети в порядку цінності на одиницю ваги» завжди дає оптимальну відповідь?

  1. AДля рюкзака 0/1, де предмети завжди потрібно брати цілими
  2. BДля жодного варіанта
  3. CДля неперервного (дробового) рюкзака, де предмети можна ділити
  4. DДля обох варіантів
3.Структури данихСередня

Скільки пам'яті займає матриця суміжності графа з V вершинами?

  1. AO(log V)
  2. BO(V²)
  3. CO(V + E)
  4. DO(E)
4.Структури данихСкладна

Що робить розширюване дерево (splay tree) після кожного звертання?

  1. AПереміщує вузол, до якого звернулися, у листок
  2. BПоворотами піднімає вузол, до якого звернулися, у корінь
  3. CПеребудовує все дерево у збалансовану форму
  4. DПерефарбовує вузли на шляху пошуку
5.Теорія графівСередня

Зв’язний граф має 16 вершин і 23 ребер. Скільки ребер k треба вилучити, щоб залишилося остовне дерево?

|V| = 16|E| = 23
k =
6.Теорія графівСкладна
ABCDEF

Скільки маршрутів довжиною 3 ведуть від B до E? Маршрут може повторювати вершини й ребра. Позначте число N.

M = матриця суміжностіL = 3
N =

3Розчини

1.Алгоритми та складність

Відповідь: C · Так, бо «велике O» — верхня межа, а n² зростає не швидше, ніж n³

Чому це відповідь

«Велике O» — верхня межа, тож твердження правильне, але не точне; Θ(n²) задає точну швидкість зростання.

Відповідь

C · Так, бо «велике O» — верхня межа, а n² зростає не швидше, ніж n³
2.Алгоритми та складність

Відповідь: C · Для неперервного (дробового) рюкзака, де предмети можна ділити

Чому це відповідь

Коли предмети можна ділити, оптимально брати спершу з найкращим відношенням; у рюкзаку 0/1 предмет із високим відношенням може заблокувати кращу комбінацію, тож потрібне динамічне програмування.

Відповідь

C · Для неперервного (дробового) рюкзака, де предмети можна ділити
3.Структури даних

Відповідь: B · O(V²)

Чому це відповідь

Матриця суміжності зберігає V × V елементів, що ефективно для щільних графів; списки суміжності займають O(V + E) і краще підходять для розріджених графів.

Відповідь

B · O(V²)
4.Структури даних

Відповідь: B · Поворотами піднімає вузол, до якого звернулися, у корінь

Чому це відповідь

Splay-операція переміщує вузол, до якого звернулися, у корінь за допомогою поворотів; одна операція може коштувати O(n), але амортизована вартість — O(log n).

Відповідь

B · Поворотами піднімає вузол, до якого звернулися, у корінь
5.Теорія графів

Відповідь: k = 8

Ейлер, Гамільтон і дерева: зв’язний граф має ейлерів цикл (кожне ребро один раз, з поверненням до початку), коли кожна вершина має парний степінь, і ейлерів шлях, що не є циклом, коли рівно дві вершини мають непарний степінь; тоді шлях іде від однієї непарної вершини до другої. Гамільтонів цикл відвідує кожну вершину один раз; у Kn їх (n − 1)!/2. Дерево на n вершинах має n − 1 ребро, а зв’язний граф з m ребрами зберігає остовне дерево після вилучення m − n + 1 ребер.

Ребра остовного дерева

16 − 1 = 15

Ребра для вилучення

k = 23 − 15 = 8

Відповідь

k = 8
6.Теорія графів

Відповідь: N = 6

Степені: степінь вершини — це кількість ребер, що в ній сходяться. Кожне ребро має два кінці, тож степені в сумі дають подвоєну кількість ребер: Σ deg(v) = 2|E| (лема про рукостискання). Тому кількість вершин з непарним степенем парна. Kn має n(n − 1)/2 ребер, k-регулярний граф на n вершинах має nk/2, а дерево на n вершинах має n − 1 ребро.

Матриця суміжності

A: 0 0 1 0 0 0
B: 0 0 0 1 1 0
C: 1 0 0 0 1 0
D: 0 1 0 0 1 1
E: 0 1 1 1 0 1
F: 0 0 0 1 1 0

Ще один крок

(M³)BE = 0·0 + 2·1 + 1·1 + 1·1 + 1·0 + 2·1 = 6

Відповідь

N = 6

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms